cos x × sin(5sin x + 2) dx の積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   導関数がすでに現れている内側の関数を探す。 合成になっている部分は$\sin\left(5\sin x+2\right)$で、その内側の関数は$5\sin x+2$である。その導関数は$5\cos x$であり、合成の外側には$\cos x$が置かれている——まさに置換積分が想定しているパターンである。

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   置換する。

   $u=5\sin x+2\quad\Longrightarrow\quad du=5\cos x\,dx\quad\Longrightarrow\quad \cos x\,dx=\frac{1}{5}\,du$

   $dx$単独ではなく$\cos x\,dx$のかたまりについて解くことが、$x$を1つ残らず消し去る鍵になる。

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   積分を完全に u で書き直す。

   $\int \sin(u)\cdot\frac15\,du=\frac15\int\sin u\,du$

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   積分する。

   $\frac15\int\sin u\,du=\frac15(-\cos u)+C=-\frac{\cos u}{5}+C$

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   もとの変数に戻す。

   $\boxed{-\frac{1}{5}\cos\left(5\sin x+2\right)+C}$

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   微分して確かめる。 合成関数の微分法により、

   $\frac{d}{dx}\left[-\frac15\cos\left(5\sin x+2\right)\right]=-\frac15\cdot\left(-\sin\left(5\sin x+2\right)\right)\cdot 5\cos x=\cos x\,\sin\left(5\sin x+2\right)$

   となり、もとの被積分関数に戻る ✓。2つの$5$がちょうど打ち消し合うことに注目したい——答えの$\tfrac15$は省いてよいものではない、という良い確認になる。