遅延微分方程式 f′(x) = f(x − 1) の指数関数解を求めよ。

Step-by-step solution

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   この方程式が普通でない点に注目する。 $x$ における微分係数が 1 単位前の値で決まっているので、これは常微分方程式ではなく遅延微分方程式である。指数関数を試す手は依然として有効だが、得られる特性方程式は多項式にならない。

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   $f(x)=e^{rx}$ を代入する。 すると $f'(x)=re^{rx}$ であり、遅れた項には定数倍がつく：

   $f(x-1)=e^{r(x-1)}=e^{-r}e^{rx}$

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   $e^{rx}$ を約分して特性方程式を得る。

   $re^{rx}=e^{-r}e^{rx}\quad\Longrightarrow\quad r=e^{-r}\quad\Longrightarrow\quad re^{r}=1$

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   $re^r=1$ をランベルト W 関数で解く。 定義により $W$ は $w\mapsto we^{w}$ の逆関数なので

   $r=W(1)\approx 0.5671432904$

   この数はオメガ定数と呼ばれる。初等的な閉じた形は存在せず、それが遅延方程式の特徴でもある。

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   解を書き、分枝が無限にあることに触れる。 実数の指数関数解は

   $f(x)=Ce^{W(1)x}\approx Ce^{0.567143x}$

   であり、$re^r=1$ は無限個の複素解 $r_k=W_k(1)$ を持つので、一般形は重ね合わせ $f(x)=\sum_k C_ke^{W_k(1)x}$ となる。実数値に保つには共役な複素解の対をまとめればよい。

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   定数を数値で検証する。 $r=0.5671432904$ とすると $re^{r}=0.5671432904\times 1.763222834=1.000000000$ $\checkmark$、同じことだが $e^{-r}=0.567143=r$ $\checkmark$ である。代入し直しても $f'(x)=rCe^{rx}$、$f(x-1)=Ce^{rx}e^{-r}=rCe^{rx}$ となって完全に一致する。