0 から 1 までの、ln(x) を（x の 0.9 乗 × (1 − x) の 0.1 乗）で割ったものの x に関する積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   被積分関数をベータ関数の形にする。 次のように書き直し

   $I = \int_0^1 x^{-0.9}(1-x)^{-0.1}\ln x\,dx$

   これを

   $B(a,b) = \int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx$

   と見比べる。指数を合わせると $a - 1 = -0.9$ より $a = 0.1$、$b - 1 = -0.1$ より $b = 0.9$ である。どちらの指数も $-1$ より大きいので、特異点があるにもかかわらず積分は両端で収束する。

2. 2

   a について微分して対数を作り出す。 積分記号下で微分すると、ちょうど $\ln x$ が下りてくる。

   $\frac{\partial}{\partial a}B(a,b) = \int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}\ln x\,dx$

   したがって $I = \left.\partial_a B(a,b)\right|_{a=0.1,\,b=0.9}$ である。

3. 3

   正しく微分する——落とし穴は 3 つ目のガンマ関数。 $B(a,b) = \dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$ から、$b$ を固定して対数微分すると

   $\frac{\partial}{\partial a}B(a,b) = B(a,b)\bigl[\psi(a) - \psi(a+b)\bigr]$

   が得られる。評価点で $a + b = 1$ だからといって、微分する前に $B = \Gamma(a)\Gamma(b)$ と書いてしまいたくなる——しかし $a$ を動かせば $a+b$ は定数ではないので、$\Gamma(a+b)$ を落とすと $-\psi(a+b)$ の項がまるごと失われる。

4. 4

   相反公式でベータ値を求める。 $a = 0.1$、$b = 0.9$ では確かに $a + b = 1$ なので $\Gamma(a+b) = \Gamma(1) = 1$ であり

   $B(0.1, 0.9) = \Gamma(0.1)\Gamma(0.9) = \frac{\pi}{\sin(0.1\pi)} = \frac{\pi}{\sin(\pi/10)} \approx 10.16640$

   となる。

5. 5

   ディガンマの因子を組み立てる。 $\psi(1) = -\gamma$（オイラー・マスケローニ定数、$\gamma \approx 0.5772157$）と $\psi(0.1) \approx -10.4237549$ より

   $\psi(0.1) - \psi(1) = -10.4237549 + 0.5772157 = -9.8465392$

   なので

   $I = \frac{\pi}{\sin(\pi/10)}\bigl(\psi(0.1) + \gamma\bigr)$

   となる。

6. 6

   計算して数値で検証する。

   $I \approx 10.1664074 \times (-9.8465392) \approx -100.10393$

   独立した数値積分——$0$ の近くで $x = u^{10}$、$1$ の近くで $x = 1 - v^{10}$ と置換して両方の特異性をならし、$300$ 点のガウス・ルジャンドル則を適用する——でも $-100.10393$ となり、閉じた形が確かめられる。（$-\psi(a+b)$ の項を落とすと $-105.97$ になり、約 $6\%$ 余計に負になる。）区間全体で $\ln x < 0$ なので、結果は負になる。