x が −2 から −1、y が 0 から 1 まで動く長方形の上で、x² − 8y の重積分を計算せよ。

Step-by-step solution

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   簡単なケースだと見抜く。 $D$ は長方形なので積分範囲は両方とも定数であり、積分の順序はどちらでもよい。まず $x$ から積分する：

   $\int_0^1 \int_{-2}^{-1} (x^2-8y)\,dx\,dy$

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   $y$ を定数とみて $x$ で積分する。

   $\int (x^2-8y)\,dx = \frac{x^3}{3}-8yx$

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   $x$ の積分範囲を代入する。 $x=-1$ では $-\tfrac{1}{3}+8y$、$x=-2$ では $-\tfrac{8}{3}+16y$。引き算すると、

   $\left(-\tfrac{1}{3}+8y\right)-\left(-\tfrac{8}{3}+16y\right) = \tfrac{7}{3}-8y$

   $x$ が負の値なので符号を落としやすい。$(-2)^3 = -8$ であって $8$ ではないことに注意。

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   その結果を $y$ について $0$ から $1$ まで積分する。

   $\int_0^1\left(\tfrac{7}{3}-8y\right)dy = \left[\tfrac{7}{3}y-4y^2\right]_0^1 = \tfrac{7}{3}-4 = -\tfrac{5}{3}$