0 ≤ x ≤ k、0 ≤ y ≤ k − x、0 ≤ z ≤ k − x − y で定まる領域上で、xyz に e の −(x + y + z) 乗を掛けたものの三重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   領域が四面体であることを見抜く。 入れ子の積分限界はちょうど次の条件

   $x \ge 0, \quad y \ge 0, \quad z \ge 0, \quad x + y + z \le k$

   を表しており、原点と $(k,0,0)$、$(0,k,0)$、$(0,0,k)$ を頂点とする単体である。こう見ることで、$x+y+z$ にしか依存しない指数関数を等位面に沿ってくくり出せるようになる。

2. 2

   指数関数が各断面上で一定であることを使う。 $u = x + y + z$ とおく。$x+y+z = u$ という断面上では因子 $e^{-u}$ は一定なので、各断面上の $xyz$ の「量」が分かれば、積分は $u$ についての 1 つの積分に帰着する。

3. 3

   部分単体上での xyz の重みを計算する。 スケーリング則により

   $\int_{x+y+z\le u} xyz\,dV = \frac{u^6}{720}$

   となる（3 次元領域上の 3 次同次な被積分関数は $u^{3+3} = u^6$ のようにスケールし、定数はディリクレ積分から $\frac{1}{720} = \frac{1!\,1!\,1!}{6!}$ となる）。$u$ で微分すれば断面上の密度 $\frac{u^5}{120}$ が得られる。

4. 4

   1 次元の積分に帰着させる。

   $I = \frac{1}{120}\int_0^k u^5 e^{-u}\,du$

   これは不完全ガンマ積分であり、部分積分を繰り返せば（あるいは標準的な原始関数から）

   $\int u^5 e^{-u}\,du = -e^{-u}\left(u^5 + 5u^4 + 20u^3 + 60u^2 + 120u + 120\right)$

   が得られる。

5. 5

   0 から k まで評価する。

   $\int_0^k u^5 e^{-u}\,du = 120 - e^{-k}\left(k^5 + 5k^4 + 20k^3 + 60k^2 + 120k + 120\right)$

   $120$ で割ると

   $I = 1 - e^{-k}\left(1 + k + \frac{k^2}{2} + \frac{k^3}{6} + \frac{k^4}{24} + \frac{k^5}{120}\right)$

   括弧の中は $e^{k}$ のマクローリン級数の最初の 6 項である。これは正規化不完全ガンマ関数 $P(6, k)$ であり、平均 $k$ のポアソン確率変数が $6$ 以上となる確率にほかならない。

6. 6

   数値と極限で確認する。 $k \to \infty$ のとき $I \to 1$、$k \to 0$ のとき $I \to 0$ となる。四面体上で入れ子の数値求積を直接行うと、$k = 1$ で $0.0005941848$、$k = 2.5$ で $0.0420210382$、$k = 5$ で $0.3840393452$ が得られ、いずれも閉じた式と小数第 10 位まで一致する。