x → 0 のときの (sin3x − 3sin x)/x³ の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   不定形であることを確認し、どこまで展開するかを決める。 $x=0$では分子が$\sin 0-3\sin 0=0$、分母が$0$なので、これは$0/0$である。分母が$x^{3}$なので、分子は$x^{3}$の次数まで展開しなければならない——1次で止めると主要項が打ち消し合うことが分かるだけで、極限は見えてこない。

2. 2

   $\sin 3x$を3次まで展開する。 $u=3x$として$\sin u=u-\dfrac{u^{3}}{6}+O(u^{5})$から、

   $\sin 3x=3x-\frac{27x^{3}}{6}+O(x^{5})=3x-\frac{9}{2}x^{3}+O(x^{5}).$

   $3$が3乗されることで、この項は$\sin x$の対応する項の27倍になる——この非対称性こそが答えの源である。

3. 3

   $3\sin x$を同じ次数まで展開する。

   $3\sin x=3\left(x-\frac{x^{3}}{6}\right)+O(x^{5})=3x-\frac{1}{2}x^{3}+O(x^{5}).$

4. 4

   引き算する。 $0/0$の形が約束したとおり、$3x$の項はきれいに打ち消し合う：

   $\sin 3x-3\sin x=\left(-\frac92+\frac12\right)x^{3}+O(x^{5})=-4x^{3}+O(x^{5}).$

5. 5

   割って極限を取る。

   $\frac{\sin 3x-3\sin x}{x^{3}}=-4+O(x^{2})\;\xrightarrow[x\to 0]{}\;-4.$

   商を直接評価すると$x=10^{-3}$で$-3.999998$、$x=10^{-4}$で$-3.99999998$となり、予測された速さ$O(x^{2})$で上から$-4$に迫っていく。