x が 2 に近づくときの (sqrt(3x - 2) + sqrt(x - 1) - 3) / (x^2 - 4) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

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   まず $x=2$ を代入して不定形の型を確かめる。 どんな手法を使う前にも必ず確認する：

   $\text{分子}=\sqrt{3(2)-2}+\sqrt{2-1}-3=\sqrt4+\sqrt1-3=2+1-3=0$

   $\text{分母}=2^2-4=0$

   したがってこの式は $\tfrac00$ の形である。これは悪い知らせではなく良い知らせで、因子 $(x-2)$ が分子と分母の両方に隠れていて約分できることを保証している。また $x=2$ の近くでは $3x-2>0$、$x-1>0$ なので、$x=2$ は定義域の内部に十分入っている。

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   各平方根が自分の値を落とすように分子を分ける。 定数 $-3$ はちょうど $-(2+1)$、つまり2つの根号を $x=2$ で評価した値の和である。そう書き直すことで、各根号を別々に扱えるようになる：

   $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}-3=\underbrace{\big(\sqrt{3x-2}-2\big)}_{\to\,0}+\underbrace{\big(\sqrt{x-1}-1\big)}_{\to\,0}$

   ここが決め手である。3項の分子を一度に有理化しようとすると収拾がつかなくなるが、分けてしまえば、1つの難しい極限が2つの易しい共役の問題に変わる。

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   それぞれを共役で有理化する。 $\frac{\sqrt{\;}+\text{値}}{\sqrt{\;}+\text{値}}$ を掛けると、平方根の差が平方の差に変わる：

   $\sqrt{3x-2}-2=\frac{(3x-2)-4}{\sqrt{3x-2}+2}=\frac{3(x-2)}{\sqrt{3x-2}+2}$

   $\sqrt{x-1}-1=\frac{(x-1)-1}{\sqrt{x-1}+1}=\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}$

   どちらの部分にも $(x-2)$ が明示的な因子として現れた。まさに分母にも住んでいる因子である。

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   共通因子 $(x-2)$ を約分する。 分母を平方の差として $x^2-4=(x-2)(x+2)$ と因数分解し、まとめる：

   $\frac{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}-3}{x^2-4}=\frac{(x-2)\left[\dfrac{3}{\sqrt{3x-2}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+1}\right]}{(x-2)(x+2)}$

   $=\frac{1}{x+2}\left[\frac{3}{\sqrt{3x-2}+2}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\right]$

   約分してよいのは、極限が $x\ne2$ のところしか見ていないからである。

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   約分後の式に $x=2$ を代入する。 もう不定形は残っていない：

   $\frac{1}{4}\left[\frac{3}{2+2}+\frac{1}{1+1}\right]=\frac14\left[\frac34+\frac12\right]=\frac14\cdot\frac54=\frac{5}{16}$

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   ロピタルの定理で検算する。 形が $\tfrac00$ だったので、分子と分母を別々に微分してもよい：

   $\lim_{x\to2}\frac{\dfrac{3}{2\sqrt{3x-2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}}{2x}=\frac{\tfrac{3}{4}+\tfrac12}{4}=\frac{\tfrac54}{4}=\frac{5}{16}$

   どちらの道筋でも一致する。数値でも確認できて、$x=2.00001$ での商は $0.3124986\ldots$、$\tfrac{5}{16}=0.3125$ である。