領域 0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 1 上での e の −(x² + y²) 乗の二重積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   極座標に飛びついてはいけない。 極座標はガウス型の定石だが、それが効くのは領域が円板か平面全体のときだけである。ここでの領域は正方形なので、境界の $r$ が $\theta$ に応じて場合分けで変わってしまう。正しい一手は変数分離のほうである。

2. 2

   被積分関数を積に分ける。 指数が和なので、指数関数は積になる：

   $e^{-(x^2+y^2)} = e^{-x^2} e^{-y^2}$

   積分区間が定数で、各因子が 1 つの変数しか含まないので、二重積分は 1 変数の積分の積に分かれる：

   $\int_0^1 \!\! \int_0^1 e^{-x^2} e^{-y^2}\,dy\,dx = \left(\int_0^1 e^{-x^2}dx\right)\left(\int_0^1 e^{-y^2}dy\right) = \left(\int_0^1 e^{-t^2}dt\right)^2$

3. 3

   1 次元の積分に名前をつける。 関数 $e^{-t^2}$ には初等的な原始関数がないので、答えは誤差関数を使って表す。誤差関数は

   $\operatorname{erf}(a) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^a e^{-t^2}\,dt$

   で定義される。移項すると

   $\int_0^1 e^{-t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(1)$

   となる。

4. 4

   2 乗する。

   $\int_0^1 \!\! \int_0^1 e^{-(x^2+y^2)}\,dA = \left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(1)\right)^2 = \frac{\pi}{4}\operatorname{erf}(1)^2$

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   数値で評価して妥当性を確かめる。 $\operatorname{erf}(1) = 0.8427008$ とすると：

   $\frac{\pi}{4}(0.8427008)^2 = 0.5577463$

   正方形上で直接数値求積すると $0.55774629$ となり、8 桁まで一致する。上下からの確認も通る：面積 $1$ の領域の上で被積分関数は $e^{-2} \approx 0.135$ から $1$ まで動き、$0.558$ はその間にある。