円錐 x^2 = y^2 + z^2 と回転放物面 x = y^2 + z^2 で囲まれた立体上で、x の三重積分を計算せよ。

Step-by-step solution

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   対称性を活かす：どちらの曲面も $y$ と $z$ には $y^2+z^2$ を通してしか依存しない。

   $r^2=y^2+z^2$

   と置くと、円錐は $x^2=r^2$、回転放物面は $x=r^2$ になる。この立体は $x$ 軸まわりの回転体なので、自然な座標は通常の $z$ 軸ではなく、その軸に巻きつけた円柱座標である。

2. 2

   回転させた円柱座標を設定する。

   $y=r\cos\theta,\qquad z=r\sin\theta,\qquad x=x$

   とし、$r\ge 0$、$0\le\theta\le 2\pi$ とする。ヤコビアンはいつもと同じなので、

   $dV=r\,dx\,dr\,d\theta$

   この余分な因子 $r$ を忘れるのが、ここでの典型的なミスである。

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   2つの曲面が交わる場所を求める。 囲まれた領域は $x\ge 0$ にあり、そこでは円錐は $x=r$ である。2つを等しいと置くと：

   $r=r^2\qquad\Longrightarrow\qquad r(r-1)=0\qquad\Longrightarrow\qquad r=0\ \text{ または }\ r=1$

   したがって立体は $yz$ 平面上の円板 $0\le r\le 1$ の上にあり、2つの曲線は原点と $x=1$ で交わる。

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   どちらの曲面が下側の境界かを決める。 $0<r<1$ では $r^2<r$ なので、回転放物面 $x=r^2$ は円錐 $x=r$ の左側にある。$(r,\theta)$ を固定すると、変数 $x$ は $r^2$ から $r$ まで動く：

   $\iiint_E x\,dV=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1\!\!\int_{r^2}^{r} x\,r\,dx\,dr\,d\theta$

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   $x$、続いて $r$ で積分する。 内側の積分は

   $\int_{r^2}^{r}x\,r\,dx=r\left[\frac{x^2}{2}\right]_{r^2}^{r}=\frac{r^3-r^5}{2}$

   であり、次に

   $\int_0^1\frac{r^3-r^5}{2}\,dr=\frac{1}{2}\left[\frac{r^4}{4}-\frac{r^6}{6}\right]_0^1=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}=\frac{1}{24}$

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   角についての積分で締めくくる。 被積分関数に $\theta$ が含まれないので、最後の積分は1回転分を掛けるだけである：

   $\int_0^{2\pi}\frac{1}{24}\,d\theta=\frac{2\pi}{24}=\frac{\pi}{12}$

   $\boxed{\iiint_E x\,dV=\frac{\pi}{12}\approx 0.2618}$

   同じ領域で数値的にリーマン和を取ると $0.26180$ となり、結果が裏づけられる。立体全体で $x\ge 0$ なので、正の答えになるのは予想通りである。