x が正の無限大に向かうときの、sinh x を cosh 2x の平方根で割った値の極限を求めよ。

Step-by-step solution

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   記号を読み替え、形を確認する。 $\operatorname{sh}x=\sinh x = \tfrac{e^x-e^{-x}}{2}$、$\operatorname{ch}(2x)=\cosh 2x = \tfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}$ である。$x\to\infty$ のときどちらも発散するので、この商は $\tfrac{\infty}{\infty}$ の形であり、増大の速さを比べるまでは不定形のままである。

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   分子から主要な指数関数をくくり出す。 $\sinh x = \frac{e^x}{2}\left(1-e^{-2x}\right).$ これで増大を担う部分（$e^x$）と、$1$ に近づく括弧の部分が分離される。

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   根号の中でも同じことをする。 $\cosh 2x = \frac{e^{2x}}{2}\left(1+e^{-4x}\right) \Longrightarrow \sqrt{\cosh 2x} = \frac{e^{x}}{\sqrt2}\sqrt{1+e^{-4x}}.$ 平方根をとると指数が半分になるので、分母も $e^x$ と同じ速さで増大する——この 2 つの速さが一致することが、極限が有限で 0 でない理由である。

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   共通因子を約分する。 $\frac{\sinh x}{\sqrt{\cosh 2x}} = \frac{\frac{e^x}{2}(1-e^{-2x})}{\frac{e^x}{\sqrt2}\sqrt{1+e^{-4x}}} = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{1-e^{-2x}}{\sqrt{1+e^{-4x}}}.$

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   残った括弧の極限をとる。 $x\to+\infty$ のとき $e^{-2x}\to0$、$e^{-4x}\to0$ なので、分数は $\tfrac{1}{1}=1$ に近づき $\lim_{x\to+\infty}\frac{\operatorname{sh}x}{\sqrt{\operatorname{ch}2x}} = \frac{\sqrt2}{2} = \frac{1}{\sqrt2} \approx 0.70711.$ となる。

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   恒等式による別解と数値で検算する。 $\cosh 2x = 1+2\sinh^2 x$ なので、この商は $\sinh x/\sqrt{1+2\sinh^2x} \to 1/\sqrt2$（$\sinh x\to\infty$ のとき）と書けて、同じ答えになる。$x=30$ での直接の値は $0.7071067812$ である。