0 ≤ z ≤ 3 かつ x² + y² ≤ z で定まる立体上で、xyz の三重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   立体を記述する。 条件 $x^{2}+y^{2}\le z$ は点を放物面 $z=x^{2}+y^{2}$ の内側に置き、$z\le 3$ が平面でふたをする。高さ $z$ での断面は半径 $\sqrt z$ の円板なので、この立体は深さ $3$、上端の半径 $\sqrt3$ の鉢である。

2. 2

   円柱座標に移る。 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$、$dV=r\,dz\,dr\,d\theta$ とすると

   $xyz=r^{2}\cos\theta\sin\theta\cdot z,$

   なので

   $\iiint_E xyz\,dV=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt3}\!\int_{r^{2}}^{3} r^{3}z\cos\theta\sin\theta\,dz\,dr\,d\theta.$

3. 3

   積分が分離することに気づく。 積分限界のどこにも $\theta$ は現れず、被積分関数の $\theta$ 依存性は因子 $\cos\theta\sin\theta$ ただ 1 つである。したがって三重積分全体が次のように分解される。

   $\left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{\sqrt3}\!\int_{r^{2}}^{3}r^{3}z\,dz\,dr\right).$

   何かを計算する前にこれを確認すれば、動径方向の計算がまるごと不要になる。

4. 4

   角度の因子を計算する。 $\cos\theta\sin\theta=\tfrac12\sin 2\theta$ を使うと

   $\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin 2\theta}{2}\,d\theta=\left[-\frac{\cos 2\theta}{4}\right]_{0}^{2\pi}=-\frac14+\frac14=0.$

5. 5

   結論と、その幾何的な理由。 第 1 の因子が $0$ で第 2 の因子が有限なので、積分全体は

   $\iiint_E xyz\,dV=0.$

   となる。理由は対称性である。立体は $x\mapsto-x$ で変わらないのに $xyz$ は符号を変えるので、寄与が対になって打ち消し合う。この領域上での数値三重求積は $-9.6\times10^{-16}$、すなわち計算機精度での 0 を返す。