a > 0 として、ln(x + sqrt(a^2 + x^2)) を逆双曲線正弦を用いて書き直せ。

Step-by-step solution

1. 1

   arsinh の対数表示を思い出す。 $\sinh t=u$ を $t$ について解くと

   $\operatorname{arsinh}(u)=\ln\left(u+\sqrt{u^{2}+1}\right)$

   が得られる。根号の中の $+1$ に注意したい。標準形には自由なパラメータがないので、与えられた式をまずこの形にスケールし直さねばならない。この式は $\dfrac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}$ の原始関数として絶えず登場するので、書き換えを知っておく価値がある。

2. 2

   変数を $a$ でスケールする。 恒等式に $u=\dfrac{x}{a}$ を代入すると

   $\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{a}\right)=\ln\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}\right)$

   となる。

3. 3

   根号を整理する。 $a^{2}$ で通分し、$a>0$ より $\sqrt{a^{2}}=a$ を使うと

   $\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}=\sqrt{\frac{x^{2}+a^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{a}$

   となる。ここで仮定 $a>0$ が本質的である。$a<0$ なら絶対値が現れ、最後の定数が変わってしまう。

4. 4

   2 つの項を $a$ でまとめる。

   $\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{a}\right)=\ln\left(\frac{x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{a}\right)=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)-\ln a$

   ここで $\ln\frac MN=\ln M-\ln N$ を使った。

5. 5

   問いに答える形に並べ替える。

   $\ln\left(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right)=\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{a}\right)+\ln a$

   2 つの式は加法定数 $\ln a$ だけ違う。だからこそ、$\dfrac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}$ の原始関数として、表によってどちらの形も正しいものとして載っているのである。

6. 6

   数値で検証する。 $a=2.7$、$x=1.3$ とすると、左辺は $\ln(1.3+\sqrt{7.29+1.69})=1.4578391$ であり、$\operatorname{arsinh}(0.4814815)+\ln 2.7=0.4645873+0.9932518=1.4578391$ となって一致する ✓。