領域 x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≥ 1 上での sin(x)sin(y)/(x+y)^p の二重積分の収束について論じよ。

Step-by-step solution

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   重みが 1 変数だけで決まるように変数変換する。 被積分関数は分母を通してしか $x+y$ を見ていないので、$u=x+y$、$v=x$ とおく。すると $y=u-v$ でヤコビアンは $1$ である。条件 $x\ge0$、$y\ge0$ は $0\le v\le u$ に、$x+y\ge1$ は $u\ge1$ になるので $I(p)=\int_1^\infty \frac{1}{u^p}\left(\int_0^u \sin v\,\sin(u-v)\,dv\right)du.$

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   積和公式で内側の積分をつぶす。 $A=v$、$B=u-v$ として $\sin A\sin B=\tfrac12[\cos(A-B)-\cos(A+B)]$ を使うと $\sin v\sin(u-v)=\tfrac12[\cos(2v-u)-\cos u]$ となる。$v\in[0,u]$ で積分すると、第 1 項からは $\sin u$ が、第 2 項からは $u\cos u$ が出るので $\int_0^u \sin v\,\sin(u-v)\,dv=\frac{\sin u-u\cos u}{2}.$

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   結果を 2 つの振動する尾部に分ける。 代入し直すと $I(p)=\frac12\int_1^\infty\frac{\sin u}{u^p}\,du-\frac12\int_1^\infty\frac{\cos u}{u^{p-1}}\,du.$ 2 次元の収束問題が、同じ標準形をした 2 つの 1 次元広義積分に置き換わった。

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   各々の尾部にディリクレの判定法を適用する。 部分積分値 $\int_1^X\sin u\,du$ と $\int_1^X\cos u\,du$ は有界にとどまるので、$\int_1^\infty \sin u/u^p\,du$ は $u^{-p}$ が $0$ へ減少するとき、すなわち $p>0$ のとき収束し、$\int_1^\infty \cos u/u^{p-1}\,du$ は $p-1>0$ のとき収束する。効いてくるのは 2 番目の条件のほうである。$p=1$ では 2 つ目の尾部が $\int_1^\infty\cos u\,du$ となって振動したまま定まらず、$p<1$ ではその振幅 $u^{1-p}$ がむしろ増大する。よって収束するのはちょうど $p>1$ のときである。

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   絶対収束は別に調べる。 絶対値をとると打ち消し合いが失われる。$A(u)=\int_0^u|\sin v\,\sin(u-v)|\,dv$ は 1 次で増大し、大きな $u$ に対して $cu\le A(u)\le Cu$ となる。$|\sin v\sin(u-v)|$ が各周期にわたって正の平均を持つからである。したがって $\iint_D|\cdot|\asymp\int_1^\infty u^{1-p}\,du$ となり、これが収束するのはちょうど $1-p<-1$ すなわち $p>2$ のときである。

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   3 通りの結論を組み立てる。 絶対収束には $p>2$ が、単なる収束には $p>1$ が必要なので、$1<p\le 2$ では収束するが絶対収束はせず、$p\le 1$ では発散する。