(1 + 2x)^(1/2) の x = 0 のまわりのテイラー級数を求め、一般項と収束域を述べよ。

Step-by-step solution

1. 1

   繰り返し微分するのではなく二項級数を使う。 一般化された二項定理は

   $(1+t)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}t^{n},\qquad \binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},$

   であり、$|t|<1$ と任意の実数 $\alpha$ に対して成り立つ。この問題に当てはめると $\alpha=\tfrac12$、$t=2x$ である。$f^{(n)}(0)$ を手で計算すると、同じところに達するのに合成関数の微分を 4 回まわすことになる。

2. 2

   最初のいくつかの係数を、2 の累乗を落とさずに求める。 各項は $\binom{1/2}{n}(2x)^{n}$ なので、$2^{n}$ を持ち越さなければならない。

   $n=1:\ \tfrac12(2x)=x;\qquad n=2:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)}{2}(4x^{2})=-\tfrac12x^{2};$

   $n=3:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)}{6}(8x^{3})=\tfrac12x^{3};\qquad n=4:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)\left(-\tfrac52\right)}{24}(16x^{4})=-\tfrac58x^{4}.$

   $2^{n}$ を忘れるのが最も多い誤りで、そうすると $-\tfrac12x^{2}$ の代わりに $\tfrac18x^{2}$ になってしまう。

3. 3

   展開を書き出す。 項をまとめると

   $\sqrt{1+2x}=1+x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{2}-\frac{5x^{4}}{8}+\cdots$

   となる。符号に注目したい。最初の 2 項の後は交互になる。$k\ge1$ に対する因子 $\left(\tfrac12-k\right)$ がすべて負だからである。

4. 4

   一般項を述べる。 閉じた形で書くと

   $\sqrt{1+2x}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}2^{n}x^{n}=1+x+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(2n-3)!!}{n!}\,x^{n},$

   となる。ここで $(2n-3)!!=1\cdot3\cdots(2n-3)$ である。$n=4$ で確かめると $\frac{-1\cdot(1\cdot3\cdot5)}{24}=-\frac{15}{24}=-\frac58$ ✓。

5. 5

   収束域を求め、数値で確かめる。 二項級数には $|t|=|2x|<1$、すなわち $|x|<\tfrac12$ が必要である。$\alpha=\tfrac12>0$ なので両端点でも絶対収束し、収束域は $\left[-\tfrac12,\tfrac12\right]$ である。$x=0.05$ では上に書いた 4 項が $1.0488086$ を与え、$\sqrt{1.1}=1.0488088$ と一致する ✓。$x=0.1$ では $1.0954375$ に対し $1.0954451$ ✓ ——$x$ が端点に近づくほど誤差が大きくなり、まさに予想どおりである。