x が 0 に近づくときの 4 / (x^2 * 2^(1/x)) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

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   $1/x$ が 0 をまたいで符号を変えることに注目する。 $x\to 0^{+}$ では $1/x\to+\infty$、$2^{1/x}\to+\infty$ である。一方 $x\to 0^{-}$ では $1/x\to-\infty$、$2^{1/x}\to 0^{+}$ となる。この因子が両側でまったく逆にふるまうので、片側極限を別々に計算しなければならない——1 つの答えがあると決めてかかるのがここでの落とし穴である。

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   右側極限：$t=1/x$ と置換する。 $x\to 0^{+}$ なら $t\to+\infty$ かつ $x^2=1/t^2$ なので

   $\frac{4}{x^2\cdot 2^{1/x}}=\frac{4}{\frac{1}{t^2}\cdot 2^{t}}=\frac{4t^2}{2^{t}}$

   となる。この置換により、扱いにくい $0\cdot\infty$ の分母が、多項式と指数関数の見慣れた競争に変わる。

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   指数関数の増大が勝つので右側極限は 0 である。 任意の固定した冪に対して $\displaystyle\lim_{t\to\infty}\frac{t^{n}}{2^{t}}=0$ である（$n=2$ ならロピタルの定理を 2 回使えば決着する）。したがって

   $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{4}{x^2\cdot 2^{1/x}}=0$

   となる。

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   左側極限：$t=-1/x$ と置換する。 今度は $x\to 0^{-}$ で $t\to+\infty$ となり、$x^2=1/t^2$、$2^{1/x}=2^{-t}=\dfrac{1}{2^{t}}$ なので式は

   $\frac{4}{\frac{1}{t^2}\cdot\frac{1}{2^{t}}}=4t^2 2^{t}\to+\infty$

   となる。分母の 2 つの因子がどちらも 0 に縮むので、分数は発散する。

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   両側極限が存在しないと結論する。

   $\lim_{x\to 0^{+}}=0\neq +\infty=\lim_{x\to 0^{-}}$

   であり、2 つの片側極限が食い違う。両側極限が存在するのは両者が一致するときに限られる。

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   数値で確かめる。 $x=0.02$ では値が $8.9\times 10^{-12}$、$x=-0.02$ では $1.1\times 10^{19}$ である。同じ式を 0 から等距離の両側で評価しているのに、値は 30 桁も違う——ただ 1 つの極限値など存在しないことを鮮やかに裏づけている。