f と g が任意の階数の導関数をもつとする。F = fg の n 階導関数が F^(n) = Σ(j=0 から n) C(n,j) f^(n-j) g^(j) を満たすことを証明せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   帰納法を用意する。 主張はすべての自然数 $n$ についての言明なので、$n=1$ で示し、次に $n$ で成り立てば $n+1$ でも成り立つことを示す。二項定理と構造がよく似ていることが、パスカルの法則が働くという手がかりである。

2. 2

   基底の場合 n = 1。 右辺は

   $\binom10 f'g+\binom11 fg'=f'g+fg'$

   となり、これはまさに通常の積の微分法なので、$n=1$ で公式は成り立つ。

3. 3

   n で成り立つと仮定してもう一度微分する。 帰納法の仮定の各項に積の微分法を適用すると

   $F^{(n+1)}=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}\left[f^{(n-j+1)}g^{(j)}+f^{(n-j)}g^{(j+1)}\right]$

   となる。これは 2 つの和に分かれる。$f$ が余分な微分を受けたほうと、$g$ が受けたほうである。

4. 4

   2 つ目の和の添字を付け替えて形をそろえる。 2 つ目の和で $k=j+1$ と置換すると $\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}f^{(n+1-k)}g^{(k)}$ になる。$k$ を $j$ に戻すと、2 つの和は同じ因子 $f^{(n+1-j)}g^{(j)}$ をもつ。

   $F^{(n+1)}=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}f^{(n+1-j)}g^{(j)}+\sum_{j=1}^{n+1}\binom{n}{j-1}f^{(n+1-j)}g^{(j)}$

5. 5

   パスカルの法則でまとめる。 $1\le j\le n$ に対して $f^{(n+1-j)}g^{(j)}$ の係数は

   $\binom{n}{j}+\binom{n}{j-1}=\binom{n+1}{j}$

   である。両端の項も合う。$j=0$ では係数が $\binom{n}{0}=1=\binom{n+1}{0}$、$j=n+1$ では $\binom{n}{n}=1=\binom{n+1}{n+1}$ である。

6. 6

   帰納法を締めくくる。

   $F^{(n+1)}=\sum_{j=0}^{n+1}\binom{n+1}{j}f^{(n+1-j)}g^{(j)}$

   となり、これは $n$ を $n+1$ に置き換えた公式そのものである。帰納法によりすべての自然数 $n$ について成り立つ。

   $\boxed{F^{(n)}=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}f^{(n-j)}g^{(j)}}$

7. 7

   n = 2 の場合を具体的に確かめる。 公式は $F''=f''g+2f'g'+fg''$ を予測する。$F'=f'g+fg'$ を手で微分すると $f''g+f'g'+f'g'+fg''=f''g+2f'g'+fg''$ となり一致する ✓——係数 $1,2,1$ はパスカルの三角形の 2 段目であり、二項定理との類似がまさに示唆するとおりである。