x → −∞ のときの 1 / x² の極限を求めよ。

Step-by-step solution

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   偶数乗が符号を消すことに気づく。 $x\neq 0$である限り$x^2>0$なので、$x$が$+\infty$に走るか$-\infty$に走るかは関係ない：どちらでも分母は正である。だからこそこの極限と$+\infty$での極限は同じ値にならなければならない。

2. 2

   分母が限りなく大きくなることを見る。 $x^2=|x|^2$であり、$x\to-\infty$のとき$|x|\to\infty$なので、

   $x^2\to+\infty$

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   「一定 ÷ 限りなく大」の規則を適用する。 分子は$1$のままで分母はあらゆる限界を超えるので、商は0へ押しつぶされる：

   $\frac{1}{x^2}\to 0$

   より正確には、任意の$\varepsilon>0$に対して$|x|>1/\sqrt{\varepsilon}$となればただちに$1/x^2<\varepsilon$が成り立つ。これがこの極限の厳密な言い換えである。

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   数値で確認する。 $x=-10$では$1/100=0.01$、$x=-100$では$1/10000=0.0001$、$x=-1000$では$10^{-6}$。値は$0$に向かって縮み、しかも終始正のままである。

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   答えと近づき方を記録する。 極限は$0$であり、しかも上から近づく——この関数は決して負にならないので、グラフは$x$軸に上側から寝ていく。同じ議論から、任意の$n>0$について$\lim_{x\to\pm\infty}x^{-n}=0$が得られる。