第一象限で x + y + z = 1 に囲まれた四面体上で、x + 2y + 3z の三重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   領域を記述する。 平面 $x+y+z=1$ と $x,y,z\ge0$ が囲むのは、原点と $(1,0,0)$、$(0,1,0)$、$(0,0,1)$ を頂点とする単位四面体である。これを切り分けると累次積分の限界は

   $0\le z\le1,\qquad0\le y\le1-z,\qquad0\le x\le1-y-z$

   となり、積分は $\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1-z}\!\!\int_{0}^{1-y-z}(x+2y+3z)\,dx\,dy\,dz$ と書ける。

2. 2

   和のまま積分せず、線形性で分ける。

   $\iiint_{E}(x+2y+3z)\,dV=\iiint_{E}x\,dV+2\iiint_{E}y\,dV+3\iiint_{E}z\,dV$

   各項は 1 変数のモーメントになり、しかも対称性で互いに結びついている。

3. 3

   領域の対称性を利用する。 四面体は $x$、$y$、$z$ の入れ替えについて完全に対称である——どの 2 つの座標を交換しても自分自身に写る。したがって

   $\iiint_{E}x\,dV=\iiint_{E}y\,dV=\iiint_{E}z\,dV$

   であり、3 つのうち1 つだけ計算すればよい。

4. 4

   共通の値を計算する。 まず $0\le x\le1-y-z$ について $x$ を積分すると $\tfrac{(1-y-z)^{2}}{2}$ となり、これを三角形 $y+z\le1$ 上で積分すると

   $\iiint_{E}x\,dV=\frac{1}{24}$

   が得られる。（$240\times240$ の格子による数値検算は $0.0416659$ を与え、$\tfrac1{24}=0.0416667$ と合う ✓。）照合として、3 つの和は $\displaystyle\iiint_{E}(x+y+z)\,dV=\tfrac{3}{24}=\tfrac18$ となり、四面体の体積 $\tfrac16$ と座標の和の平均 $\tfrac34$ と整合する。

5. 5

   重み付きの合計をまとめる。

   $\frac{1}{24}+2\cdot\frac{1}{24}+3\cdot\frac{1}{24}=\frac{1+2+3}{24}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$

   答えは $\tfrac14$ である。重み $1,2,3$ がその和を通してしか効いていない点に注目したい。これは対称性の直接の帰結であり、3 つの累次積分を別々に押し切る前に対称性を探すべき十分な理由になる。