2 dy を −2y で割ったものの積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   まず数の定数を約分する。 上の$2$と下の$-2$は約分されて$-1$になる：

   $\int \frac{2}{-2y}\,dy = \int \left(-\frac{1}{y}\right)dy$

   積分する前にこれをやっておけば、原始関数の中まで係数を持ち回らずに済む。

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   定数を外に出す。 定数は積分の外へ括り出せる：

   $\int \left(-\frac{1}{y}\right)dy = -\int \frac{1}{y}\,dy$

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   逆数の積分公式を適用する。

   $\int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C$

   絶対値が重要である：$\tfrac1y$は負の$y$でも定義されており、そこでは$\tfrac{d}{dy}\ln(-y) = \tfrac{-1}{-y} = \tfrac1y$となる。$\ln y$とだけ書くと答えが$y > 0$に制限されてしまう。またべき乗則$\int y^n dy = \tfrac{y^{n+1}}{n+1}$がここで使えないのは、$n = -1$だとゼロで割ることになるからである。

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   答えをまとめる。

   $\int \frac{2\,dy}{-2y} = -\ln|y| + C$

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   微分して確かめ、同値な形も見ておく。 $\tfrac{d}{dy}\left(-\ln|y|\right) = -\tfrac1y$となり被積分関数に一致する。$-\ln|y| = \ln|y|^{-1}$なので、結果を$\ln\left|\tfrac{1}{y}\right| + C$と書くこともできる。この積分は、減衰の方程式$\tfrac{dy}{dx} = -2y$を変数分離したときに現れる左辺そのものである。