y = (x - 1)^x の導関数を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   なぜ標準の公式が使えないかを押さえる。 指数法則 $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$ は指数が定数であることを要求し、指数関数の公式 $\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a$ は底が定数であることを要求する。ここでは底 $x-1$ も指数 $x$ も変数なので、どちらの公式も使えず、混ぜて使えば無意味な式になる。ここで効くのが対数微分法である。

2. 2

   まず定義域を述べる。 $(x-1)^x$ が指数の変わる実数乗として定義されるためには、底が正でなければならない：

   $x-1>0\qquad\Longleftrightarrow\qquad x>1$

   以下の議論はすべて $(1,\infty)$ 上で有効であり、そこはちょうど $\ln(x-1)$ が意味をもつ範囲でもある。

3. 3

   両辺の自然対数をとる。 対数は指数を係数に変える。それがこの操作の目的である：

   $\ln y=\ln\bigl((x-1)^x\bigr)=x\ln(x-1)$

   右辺はもう、見慣れた2つの関数の普通の積である。

4. 4

   両辺を $x$ で微分する。 左辺では $y$ が $x$ の関数なので、連鎖律から $\frac{1}{y}\,y'$ が出る。ここで陰関数微分が入ってくる。右辺には積の微分法を使う：

   $\frac{d}{dx}\bigl(x\ln(x-1)\bigr)=1\cdot\ln(x-1)+x\cdot\frac{1}{x-1}$

   よって

   $\frac{y'}{y}=\ln(x-1)+\frac{x}{x-1}$

5. 5

   $y'$ について解き、もとの関数を代入し戻す。 両辺に $y$ を掛け、$y=(x-1)^x$ を代入すると：

   $\boxed{\,y'=(x-1)^x\left(\ln(x-1)+\frac{x}{x-1}\right)\,}$

   答えにはもとの式が因子として必ず現れる。これは対数微分法の典型で、先頭の $(x-1)^x$ を落とすのがよくある誤りである。

6. 6

   数値で確かめる。 $x=3$ ではこの式から $2^3\left(\ln 2+\tfrac{3}{2}\right)=8(0.6931+1.5)\approx 17.545$ が得られる。$(x-1)^x$ の $x=3$ における中心差分（$h=10^{-6}$）は $17.5452$ を返すので、導関数は正しい。同じ型はどんな $f(x)^{g(x)}$ にも使え、その導関数は $f^g\left(g'\ln f+\frac{gf'}{f}\right)$ である。