領域 0 ≤ x ≤ 2、0 ≤ y ≤ 2 上での (x/8)(x² + xy) の二重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   何よりも先に被積分関数を展開する。 $\frac{x}{8}(x^2 + xy)$ のような積は、単項式の和にしてしまえば積分しやすい：

   $\frac{x}{8}(x^2 + xy) = \frac{x^3}{8} + \frac{x^2 y}{8}$

   これで各項が $x$ の単純なべきと $y$ の単純なべきの積になり、どちらの積分も初等的になる。

2. 2

   x を固定して y で積分する。 因子 $x^3/8$ は $y$ について定数で、$x^2y/8$ には $y$ のべき乗の公式が要る：

   $\int_0^2 \left(\frac{x^3}{8} + \frac{x^2 y}{8}\right) dy = \left[\frac{x^3 y}{8} + \frac{x^2 y^2}{16}\right]_0^2$

3. 3

   y の端を代入する。 $y = 2$ で（$y = 0$ の側は何も寄与しない）：

   $\frac{2x^3}{8} + \frac{4x^2}{16} = \frac{x^3}{4} + \frac{x^2}{4}$

   $y^2$ の項が $2$ ではなく $4$ を生むことに注意する。上端を 2 乗するところが計算間違いの入り口である。

4. 4

   結果を x で積分する。 共通の $\tfrac14$ を外に出す：

   $\frac{1}{4}\int_0^2 (x^3 + x^2)\,dx = \frac{1}{4}\left[\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{1}{4}\left(4 + \frac{8}{3}\right)$

5. 5

   計算を仕上げ、大きさを確かめる。

   $\frac{1}{4} \cdot \frac{20}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.6667$

   正方形上の数値求積は 8 桁まで一致する。妥当性の確認として、面積 $4$ の領域の上で被積分関数は $0$ から $\frac{2}{8}(4 + 4) = 2$ まで動くので、値 $\tfrac53$ はありうる範囲に十分収まっている。（この $1/8$ はまさに $\frac{x}{8}(x+y)$ をこの正方形上の確率密度にする定数であり、いまの被積分関数はその密度に $x$ を掛けたものである。）