円錐 z = √(3(x² + y²)) と球面 z = √(1 − x² − y²) に挟まれた領域上で、(x² + y² + z²) の 3/2 乗の正弦の三重積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   立体を特定する。 下側の曲面 $z=\sqrt{3}\,r$（ただし $r^2=x^2+y^2$）は円錐、上側の曲面 $z=\sqrt{1-r^2}$ は単位球の上半分である。両者は $\sqrt3\,r=\sqrt{1-r^2}$ すなわち $3r^2=1-r^2$ となるところ、つまり $r=\tfrac12$ で交わる。この領域は円錐と単位球に挟まれた典型的な「アイスクリームコーン」形で、その射影は円板 $r\le\tfrac12$ である。

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   円柱座標ではなく球座標を選ぶ。 被積分関数は $x^2+y^2+z^2 = \rho^2$ だけに依存するので、球座標では $\sin(\rho^3)$ という 1 変数の関数になる。円柱座標では分離できない $\sin\!\left((r^2+z^2)^{3/2}\right)$ が残ってしまう。だからこそ球座標まで変換する必要がある。

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   円錐を一定の天頂角に読み替える。 円錐上では $\tan\varphi = \dfrac{r}{z} = \dfrac{1}{\sqrt3}$ なので $\varphi = \dfrac{\pi}{6}$ である。したがって立体は $0\le\rho\le1,\qquad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{6},\qquad 0\le\theta\le2\pi,$ で表され、体積要素は $dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$ となる。

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   三重積分を 3 つの 1 変数積分に分ける。 $I = \int_0^{2\pi}\!d\theta\int_0^{\pi/6}\!\sin\varphi\,d\varphi\int_0^{1}\rho^2\sin(\rho^3)\,d\rho.$ どの因子も 1 つの変数しか含まない。

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   各因子を計算する。 $\int_0^{2\pi}d\theta = 2\pi$、$\int_0^{\pi/6}\sin\varphi\,d\varphi = 1-\cos\tfrac{\pi}{6} = 1-\tfrac{\sqrt3}{2}$、そして $u=\rho^3$、$du=3\rho^2 d\rho$ とおけば $\int_0^1\rho^2\sin(\rho^3)\,d\rho = \frac13\int_0^1\sin u\,du = \frac{1-\cos 1}{3}.$ この置換がうまくいくのは、体積要素から出る $\rho^2$ がちょうど必要な因子だからである。

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   掛け合わせて確認する。 $I = 2\pi\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right)\frac{1-\cos 1}{3} \approx 2\pi(0.133975)(0.153233) \approx 0.128989.$ もとの円柱座標の形を入れ子の数値求積で計算すると $0.1289892138$ となり、小数第 9 位まで一致する。