領域 D = {−2 ≤ x ≤ −1、0 ≤ y ≤ 1} 上での x² − 8y の二重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   変数分離できる項を持つ長方形だと見抜く。 積分区間が定数の長方形の上では、和の積分は積分の和に分かれ、しかもここでは各項が 1 変数だけの関数なので、それぞれが 1 次元の積分の積になる。

2. 2

   被積分関数を分ける。 $\iint_D\left(x^2-8y\right)dA=\iint_D x^2\,dA-8\iint_D y\,dA$。2 つを別々に扱えば、1 つの原始関数に両方の変数を引きずらずに済む。

3. 3

   x² の部分を計算する。 $\int_{-2}^{-1}x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{-1}=\frac{-1}{3}-\frac{-8}{3}=\frac73$ であり、$\int_0^1 dy=1$ なので、この部分の寄与は $\frac73$ である。$x$ が負でも $x^2$ は正のままである点に注意する。

4. 4

   −8y の部分を計算する。 $\int_{-2}^{-1}dx=1$、$\int_0^1 y\,dy=\frac12$ なので、この部分の寄与は $-8\cdot 1\cdot\frac12=-4$ である。

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   合わせる。 $\frac73-4=\frac{7-12}{3}=-\frac53\approx -1.6667$。負になるのは想定どおりである。この長方形の上で $x^2$ は $4$ を超えないのに対し $8y$ は $8$ に達するので、$-8y$ の項がそれを上回る。

6. 6

   数値による確認。 同じ長方形上での適応求積は $-1.6666667$ を返し、$-\frac53$ と一致する。