放物面 x^2 + y^2 = 2z の内側で、平面 z = 2 と z = 8 に挟まれた立体上で、x^2 y^2 の三重積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   立体を円柱座標で記述する。 曲面 $x^2+y^2=2z$ は上に開く放物面 $z=\tfrac{r^2}{2}$ である。「放物面の内側」とは $r^2\le 2z$ のことなので、高さ $z$ で水平に切ると半径 $\sqrt{2z}$ の円板が現れる。

   $2\le z\le 8,\qquad 0\le r\le \sqrt{2z},\qquad 0\le\theta\le 2\pi$

   （$z$ を最後に積分するのではなく）$z$ で切り分けることが、限界を単純に保つ鍵である。どの断面も欠けのない円板になる。

2. 2

   被積分関数と体積要素を変換する。 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$ とすると

   $x^2y^2=r^4\cos^2\theta\sin^2\theta,\qquad dV=r\,dr\,d\theta\,dz$

   なので、被積分関数は合わせて $r^5$ のべきをもつことになる。

   $\iiint_E x^2y^2\,dV=\int_2^8\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\sqrt{2z}} r^5\cos^2\theta\sin^2\theta\,dr\,d\theta\,dz$

   ヤコビアンの因子 $r$ を忘れるのが最も多い誤りで、その場合ここが $r^4$ になってしまう。

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   角度の因子を分離する。 積分限界のどこにも $\theta$ が現れないので、三重積分は $\theta$ の積分と $(r,z)$ の積分の積に分解される。$\cos\theta\sin\theta=\tfrac12\sin 2\theta$ を使うと

   $\cos^2\theta\sin^2\theta=\frac{\sin^2 2\theta}{4}=\frac{1-\cos 4\theta}{8}$

   $\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\sin^2\theta\,d\theta=\frac{1}{8}\left[\theta-\frac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{2\pi}=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}$

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   動径方向、続いて $z$ について積分する。 $z$ を固定すると

   $\int_0^{\sqrt{2z}} r^5\,dr=\frac{(2z)^3}{6}=\frac{8z^3}{6}=\frac{4z^3}{3}$

   これを $2\le z\le 8$ で積分すると

   $\int_2^8 \frac{4z^3}{3}\,dz=\frac{4}{3}\left[\frac{z^4}{4}\right]_2^8=\frac{1}{3}\left(4096-16\right)=1360$

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   2 つの因子を掛け、大きさの妥当性を確かめる。

   $\iiint_E x^2y^2\,dV=1360\cdot\frac{\pi}{4}=340\pi\approx 1068.1$

   符号は正しい。被積分関数 $x^2y^2$ は決して負にならないので、答えは正でなければならない。粗い評価も大きさを支持する——立体は半径 $4$、高さ $6$ の円柱の内部にあり、そこでは $x^2y^2\le r^4/4\le 64$ なので上界はおよそ $64\cdot\pi\cdot 16\cdot 6\approx 19300$ となり、$340\pi$ を十分に上回る。