y = 3 sin(4x³ + 5) · √(5(4x + 5/x)) の導関数を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   積の微分法が見えるように 2 つの因子に名前をつける。 この関数は 1 つの合成ではなく積なので、$(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$ から出発する。ここで $u=3\sin(4x^3+5),\qquad v=\sqrt{5\left(4x+\frac5x\right)}.$ 各因子自体が合成関数なので、2 つの導関数はどちらも合成関数の微分を必要とする。

2. 2

   正弦の因子を合成関数の微分で処理する。 内側の関数を $f(x)=4x^3+5$ とすると $f^{\prime}(x)=12x^2$ なので $u^{\prime}=3\cos(4x^3+5)\cdot 12x^2=36x^2\cos(4x^3+5).$

3. 3

   根号の因子を微分する。 $g(x)=5\left(4x+\frac5x\right)=20x+\frac{25}{x}$ として $v=g(x)^{1/2}$ と書く。すると $g^{\prime}(x)=20-\frac{25}{x^2}$ であり、$\left(g^{1/2}\right)^{\prime}=\frac{g^{\prime}}{2\sqrt{g}}$ だから $v^{\prime}=\frac{20-\frac{25}{x^2}}{2\sqrt{5\left(4x+\frac5x\right)}}.$

4. 4

   積の微分法で組み立てる。 4 つの部品を $y^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$ に代入すると $y^{\prime}=36x^2\cos(4x^3+5)\sqrt{5\left(4x+\frac5x\right)}+\frac{3\sin(4x^3+5)\left(20-\frac{25}{x^2}\right)}{2\sqrt{5\left(4x+\frac5x\right)}}.$

5. 5

   答えが有効な範囲を確認する。 $5/x$ の項があるので $x\ne 0$ が必要であり、根号には $5\left(4x+\frac5x\right)\ge 0$ が必要である。後者はすべての $x>0$ で成り立つが、負の側では一部で破れる。根号の中身が 0 になるところでは根号が分母に来るので、そこでも導関数は存在しない。