e^(6x) の x についての積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   そもそもなぜ係数が現れるのかを押さえる。 $e^{6x}$を微分すると内側の導関数が出てくる：

   $\frac{d}{dx}e^{6x}=6e^{6x}$

   したがって積分ではこの余分な$6$を打ち消さなければならない。

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   公式を述べる。 ゼロでない任意の定数$k$について：

   $\int e^{kx}\,dx=\frac{1}{k}e^{kx}+C$

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   $k=6$として適用する。

   $\int e^{6x}\,dx=\frac{1}{6}e^{6x}+C$

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   検算として置換積分でも同じ結果を導く。 $u=6x$とおくと$du=6\,dx$、$dx=\tfrac{du}{6}$なので：

   $\int e^{u}\frac{du}{6}=\frac{1}{6}e^{u}+C=\frac{1}{6}e^{6x}+C$

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   微分して検証する。 $\tfrac{d}{dx}\left(\tfrac16 e^{6x}\right)=\tfrac16\cdot 6e^{6x}=e^{6x}$ $\checkmark$。数値でも$x=0.3$のとき被積分関数は$e^{1.8}\approx 6.0496$であり、$\tfrac16 e^{6x}$の差分商も同じ値になる$\checkmark$。