3 sin(x)/cos^2(x) + sin(2x) の x = 0 における 5 次までのテイラー級数を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   商を既知の級数の積に直す。 $3\sin x/\cos^2 x$ をそのまま繰り返し微分するのは苦しいので、$3\sin x\cdot\sec^{2}x$ と書き、2 つの標準的なマクローリン展開を使う。$\sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+O(x^{7}),\qquad \sec^{2}x=1+x^{2}+\frac{2}{3}x^{4}+O(x^{6}).$

2. 2

   x^5 までの項だけ残して掛ける。 総次数が $5$ 以下になる積を集めると、$x\cdot 1=x$、$x\cdot x^{2}=x^{3}$、$-\frac{x^{3}}{6}\cdot 1=-\frac{x^{3}}{6}$、$x\cdot\frac23x^{4}=\frac23x^{5}$、$-\frac{x^{3}}{6}\cdot x^{2}=-\frac{x^{5}}{6}$、$\frac{x^{5}}{120}\cdot 1=\frac{x^{5}}{120}$ である。したがって $\sin x\,\sec^{2}x=x+\frac56x^{3}+\left(\frac23-\frac16+\frac1{120}\right)x^{5}+O(x^{6})=x+\frac56x^{3}+\frac{61}{120}x^{5}+O(x^{6}).$

3. 3

   3 倍する。 全体に掛けると $\frac{3\sin x}{\cos^{2}x}=3x+\frac{5}{2}x^{3}+\frac{61}{40}x^{5}+O(x^{6}).$ となる。

4. 4

   2 つ目の項は代入で展開する。 正弦の級数で $x$ を $2x$ に置き換えると $\sin(2x)=2x-\frac{(2x)^{3}}{6}+\frac{(2x)^{5}}{120}+O(x^{7})=2x-\frac43x^{3}+\frac{4}{15}x^{5}+O(x^{7}).$ となる。

5. 5

   2 つの級数を係数ごとに足す。 $x$ の項は $3+2=5$、$x^{3}$ の項は $\frac52-\frac43=\frac{15-8}{6}=\frac76$、$x^{5}$ の項は $\frac{61}{40}+\frac{4}{15}=\frac{183+32}{120}=\frac{215}{120}=\frac{43}{24}$ となる。$f$ が奇関数であることから当然のように、奇数次の項しか残らない。

6. 6

   多項式を数値で検証する。 $f(x)-\left(5x+\frac76x^{3}+\frac{43}{24}x^{5}\right)$ を $x=0.01,\,0.02,\,0.05$ で評価すると $8.0\times10^{-15}$、$1.0\times10^{-12}$、$6.3\times10^{-10}$ となる。それぞれを $x^{7}$ で割るとほぼ同じ定数 $0.80$ になり、誤差が $O(x^{7})$ で、低次の項を落としていないことが確かめられる。