f が [a, ∞) 上で単調、非負、かつ非有界ならば、a から無限大までの f の広義積分は必ず発散することを証明せよ。

Step-by-step solution

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   単調＋非有界から何が従うかを確定させる。 $[a,\infty)$ 上の単調関数は、単調非減少か単調非増加のいずれかである。$f(a)$ から始まって $\ge 0$ を保つ非増加関数は $[0,f(a)]$ に閉じ込められる——つまり有界である。よって非有界という仮定がこれを排除し、$f$ は非減少でなければならず、$f(x)\to+\infty$ となる。

2. 2

   都合のよい閾値を取り出す。 $f(x)\to+\infty$ なので、ある $b\ge a$ が存在して

   $f(b)\ge 1$

   が成り立ち、$f$ が非減少なので すべての $x\ge b$ に対して $f(x)\ge 1$ となる。定数 $1$ の取り方は任意であり、正の数なら何でもよい。

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   裾の部分で比較する。 任意の $T>b$ に対し、積分の単調性より

   $\int_{b}^{T}f(x)\,dx\ge \int_{b}^{T}1\,dx=T-b$

   が成り立つ。

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   T を大きくする。 右辺は $T-b\to+\infty$ なので $\int_{b}^{T}f\to+\infty$ である。有限な部分 $\int_{a}^{b}f$（$f$ は単調なので有界区間 $[a,b]$ 上で可積分であり、これは有限）を足してもその事実は変わらない。

   $\int_{a}^{T}f(x)\,dx\to+\infty\quad\text{ここで }T\to+\infty$

   $\boxed{\text{広義積分は発散する}}$

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   各仮定が必要であることを確かめる。 非有界を外すと結論は成り立たない。$[1,\infty)$ 上の $f(x)=\tfrac{1}{x^{2}}$ は単調・非負・有界であり、その積分は $1$ に収束する。単調を外しても成り立たない。$x=n$ の近くに高さ $n$、幅 $2^{-n}n^{-1}$ の、次第に高く細くなる尖りを並べた非負で非有界な関数は、総面積が $\sum 2^{-n}<\infty$ となる。したがってどちらの条件も確かに働いている。

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   級数との違いに注意する。 数列についての対応する主張は自明である。非負で非有界な数列は $a_n\to 0$ となりえないので、項の判定法により $\sum a_n$ は発散する。積分にはそのような項の判定法が存在しない（$0$ に近づかない関数でも積分が収束することがある）。だからこそ単調性を明示的に仮定しなければならない。