y = x²、y = 2 − x、x = 0、x = 1 で囲まれた領域 R を図示し、R 上での x² + y² の二重積分を y、x の順に求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   積分区間を書く前に領域を記述する。 帯 $0\le x\le 1$ の上で 2 つの曲線を比べる。$x=0$ では $y=0$ と $y=2$、$x=1$ では $y=1$ と $y=1$ である。$[0,1]$ 上で $2-x-x^2=(2+x)(1-x)\ge 0$ なので、全体を通じて放物線が下の境界、直線が上の境界であり、両者は角 $(1,1)$ でのみ接する。

2. 2

   dy dx の順で累次積分を立てる。 各 $x$ での縦の切片が一方の曲線から他方まできれいに伸びるので、この順序なら分割は不要である：

   $I=\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{2-x}\left(x^{2}+y^{2}\right)dy\,dx.$

3. 3

   x を定数として内側の積分を実行する。

   $\int_{x^{2}}^{2-x}\left(x^{2}+y^{2}\right)dy=\left[x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right]_{y=x^{2}}^{y=2-x}$

   $=x^{2}\left(2-x-x^{2}\right)+\frac{(2-x)^{3}-x^{6}}{3}.$

4. 4

   x の 1 つの多項式に展開する。 $(2-x)^3=8-12x+6x^2-x^3$ を使って

   $=2x^{2}-x^{3}-x^{4}+\frac{8-12x+6x^{2}-x^{3}-x^{6}}{3}=\frac{8}{3}-4x+4x^{2}-\frac{4x^{3}}{3}-x^{4}-\frac{x^{6}}{3}.$

5. 5

   0 から 1 まで項ごとに積分する。

   $I=\frac{8}{3}-2+\frac{4}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{21}.$

   共通分母 $105$ にそろえると

   $I=\frac{280-210+140-35-21-5}{105}=\frac{149}{105}.$

6. 6

   答えの大きさを確かめる。 領域の面積は $\int_0^1(2-x-x^2)dx=2-\tfrac12-\tfrac13=\tfrac76\approx1.167$ であり、その上で $x^2+y^2$ は $0$ から $4$ まで動くので、平均値がおよそ $\tfrac{149/105}{7/6}\approx1.22$ になるのは十分ありうる。同じ領域でのモンテカルロ推定は $1.4195$ を返し、$149/105\approx1.4190$ と合っている。