ラプラス変換を使って、初期値問題 y'' - y = 4*delta(t - 2) + t^2、y(0) = 0、y'(0) = 2 を解け。ここで delta はディラックのデルタ関数である。

Step-by-step solution

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   撃力があるのでラプラス変換を選ぶ。 右辺には $\delta(t-2)$ が含まれているが、これは通常の方法で積分できる関数ではない。未定係数法も定数変化法も通用しない。ラプラス変換は撃力を普通の指数関数 $e^{-2s}$ に変えてしまうので、問題全体が代数の問題になる。

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   初期条件を織り込みながら両辺を変換する。 $\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$ に $y(0)=0$、$y'(0)=2$ を入れ、標準の変換 $\mathcal{L}\{\delta(t-a)\} = e^{-as}$ と $\mathcal{L}\{t^2\} = 2/s^3$ を使うと：

   $s^2Y - 2 - Y = 4e^{-2s} + \frac{2}{s^3}$

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   $Y(s)$ について解く。 左辺から $Y$ をくくり出すと：

   $Y(s) = \frac{2}{s^2-1} + \frac{4e^{-2s}}{s^2-1} + \frac{2}{s^3(s^2-1)}$

   3つの項はそれぞれ別々に逆変換できる。$s$ 領域で計算する見返りがこれである。

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   厄介な第3項を部分分数分解する。 $\dfrac{1}{s^3(s^2-1)} = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{s^2} + \dfrac{C}{s^3} + \dfrac{Ds+E}{s^2-1}$ と置いて係数を比較すると $A = -1$、$B = 0$、$C = -1$、$D = 1$、$E = 0$ が得られるので、

   $\frac{2}{s^3(s^2-1)} = -\frac{2}{s} - \frac{2}{s^3} + \frac{2s}{s^2-1}$

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   各項を逆変換する。 $\mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2-1)\} = \sinh t$、$\mathcal{L}^{-1}\{s/(s^2-1)\} = \cosh t$、$\mathcal{L}^{-1}\{2/s^3\} = t^2$、および第2移動定理 $\mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\} = u(t-a)f(t-a)$ を使うと：

   $y(t) = 2\sinh t + 2\cosh t - t^2 - 2 + 4u(t-2)\sinh(t-2)$

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   整理して検算する。 $2\sinh t + 2\cosh t = 2e^{t}$ なので、

   $y(t) = 2e^{t} - t^2 - 2 + 4u(t-2)\sinh(t-2)$

   確認すると $y(0) = 2 - 0 - 2 = 0$、$y'(0) = 2 - 0 = 2$ でどちらも正しい。$t<2$ ではヘヴィサイド関数の項が効かず、$y'' - y = (2e^t - 2) - (2e^t - t^2 - 2) = t^2$ となって条件を満たす。$t=2$ では撃力によって $y'$ がちょうど $4$ だけ跳ぶ一方、$y$ 自身は連続のままである。これが大きさ $4$ の単位撃力の物理的な特徴である。