直線 x = 4、y = −2、x − y = 0 で囲まれた領域 D 上での (4 − y) の二重積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   3 つの頂点を求める。 境界の直線を 2 本ずつ交わらせる：$x=4$ と $y=-2$ で $(4,-2)$、$x=4$ と $y=x$ で $(4,4)$、$y=-2$ と $y=x$ で $(-2,-2)$。よって $D$ は頂点 $(-2,-2)$、$(4,-2)$、$(4,4)$ の三角形である。

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   積分の順序を選ぶ。 縦に掃くのが最も簡単である。$-2$ から $4$ までの各 $x$ について、短冊は下辺 $y=-2$ から斜辺 $y=x$ まで伸びる。したがって $\displaystyle\int_{-2}^{4}\!\!\int_{-2}^{x}(4-y)\,dy\,dx$ となる。全体で $x\ge -2$ なので、上端が下端を下回ることはない。

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   内側の $y$ 積分を実行する。 $\displaystyle\int_{-2}^{x}(4-y)\,dy=\left[4y-\frac{y^2}{2}\right]_{-2}^{x}=\left(4x-\frac{x^2}{2}\right)-\left(-8-2\right)=4x-\frac{x^2}{2}+10$。

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   外側の $x$ 積分を実行する。 $\displaystyle\int_{-2}^{4}\left(4x-\frac{x^2}{2}+10\right)dx=\left[2x^2-\frac{x^3}{6}+10x\right]_{-2}^{4}$。

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   2 つの端で評価する。 $x=4$ では $32-\frac{64}{6}+40=72-\frac{32}{3}=\frac{184}{3}$、$x=-2$ では $8+\frac{8}{6}-20=-12+\frac43=-\frac{32}{3}$。差は $\frac{184}{3}+\frac{32}{3}=\frac{216}{3}=72$ である。

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   重心を使った近道で突き合わせる。 この三角形の面積は $\tfrac12\cdot 6\cdot 6=18$、重心は $\bar y=\frac{-2-2+4}{3}=0$ なので $\iint_D(4-y)\,dA=4\cdot 18-18\bar y=72-0=72$ となる。累次積分をシンプソン則で数値評価しても $72.0$ が返る。