ある立体の底面は、x 軸、y 軸、曲線 y = e^x、および直線 x = 3 で囲まれた第1象限の領域である。x 軸に垂直な断面はすべて正方形である。この立体の体積を求めよ。

Step-by-step solution

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   底面を1本の縦の切り口ずつ読む。 断面積から体積を求める問題では、立体全体の形は必要なく、1つの切り口の大きさだけが要る。$0$ と $3$ の間の $x$ を固定して底面を縦に切る。底面の下端は $x$ 軸（$y=0$）、上端は曲線 $y=e^{x}$ なので、その切り口の長さは

   $L(x)=e^{x}-0=e^{x}.$

   である。$y$ 軸と直線 $x=3$ は、切り始めと切り終わりの位置 $0\le x\le 3$ を教えているにすぎない。

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   切り口の長さを断面積に直す。 その切り口の上に立つ断面は正方形で、切り口はその1辺そのものである。したがって1辺は $s=e^{x}$ で、断面積は

   $A(x)=s^{2}=\left(e^{x}\right)^{2}=e^{2x}.$

   となる。$(e^{x})^{2}=e^{2x}$ という規則のおかげでこの積分は初等的になるので、2乗は積分の後ではなく前に済ませておくべきである。

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   体積の積分を立てる。 面積 $A(x)$、厚さ $dx$ の薄板を $x=0$ から $x=3$ まで積み重ねると

   $V=\int_{0}^{3}A(x)\,dx=\int_{0}^{3}e^{2x}\,dx.$

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   積分する。 $u=2x$ と置換して（あるいは形を見抜いて）$\int e^{2x}\,dx=\tfrac12 e^{2x}$ である。$\tfrac12 e^{2x}$ を微分すると因子 $2$ が戻ってくるからである：

   $V=\left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_{0}^{3}=\frac{1}{2}e^{6}-\frac{1}{2}e^{0}.$

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   値を求めて妥当性を確かめる。 $e^{0}=1$ なので、

   $V=\frac{e^{6}-1}{2}\approx 201.214.$

   手短な確認：最大の断面（$x=3$）の面積は $e^{6}\approx 403.4$、最小の断面（$x=0$）の面積は $1$ なので、長さ $3$ にわたって体積が約 $201$ というのは桁として正しい。面積の増え方が非常に速いため、体積のほとんどは $x=3$ の近くに集まっている。$[0,3]$ 上で $e^{2x}$ を数値積分すると $201.21440$ となり、厳密値と一致する。