x e^(−x²) の x についての不定積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   そもそもなぜこれが解けるのかを押さえる。 よく似た$\int e^{-x^2}dx$には初等的な原始関数が存在しない。余分な因子$x$がすべてを変えるのである：これは（定数倍を除いて）指数部分の導関数にあたるので、積分は純粋な置換積分になる。この違いを見抜くことがこの問題の核心すべてである。

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   置換を選ぶ。

   $u=-x^{2}\quad\Longrightarrow\quad du=-2x\,dx\quad\Longrightarrow\quad x\,dx=-\tfrac12\,du$

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   積分を完全に$u$で書き直す。 もとの式の$x\,dx$がまるごと置き換わり、$x$は1つも残らない：

   $\int x\,e^{-x^{2}}\,dx=\int e^{u}\left(-\tfrac12\,du\right)=-\tfrac12\int e^{u}\,du$

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   積分して元の変数に戻す。

   $-\tfrac12 e^{u}+C=-\tfrac12 e^{-x^{2}}+C$

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   微分して確かめる。 合成関数の微分法により、

   $\frac{d}{dx}\left(-\tfrac12 e^{-x^{2}}\right)=-\tfrac12 e^{-x^{2}}\cdot(-2x)=x\,e^{-x^{2}}$

   となり、もとの被積分関数に戻る ✓。$x=1.3$での数値確認：$-\tfrac12 e^{-x^2}$の対称差分商は$0.2398754$、$x e^{-x^2}=0.2398754$である ✓。

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   定積分にした場合も見ておく。 積分区間を$a$から$b$とすると答えは$\tfrac12\left(e^{-a^2}-e^{-b^2}\right)$であり、特に$\int_0^{\infty}x e^{-x^2}dx=\tfrac12$となる。