a > 0、b > 0 を定数とするとき、(1 − u²) を (a − bu²) の 3/2 乗で割ったものの u についての不定積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   当たりをつけた式を微分して、鍵となる原始関数を作る。 三角置換に頼るのではなく、$\dfrac{u}{\sqrt{a-bu^2}}$を積の微分法で微分してみる：

   $\frac{d}{du}\left[u(a-bu^2)^{-1/2}\right]=\frac{1}{\sqrt{a-bu^2}}+\frac{bu^2}{(a-bu^2)^{3/2}}=\frac{a}{(a-bu^2)^{3/2}}$

   したがって

   $\int\frac{du}{(a-bu^2)^{3/2}}=\frac{u}{a\sqrt{a-bu^2}}$

2. 2

   分子を2つに分ける。

   $\int\frac{1-u^2}{(a-bu^2)^{3/2}}\,du=\int\frac{du}{(a-bu^2)^{3/2}}-\int\frac{u^2\,du}{(a-bu^2)^{3/2}}$

   第1の部分はすでに求まっており、残るのは$u^2$を含む部分だけである。

3. 3

   $u^2$を分母そのものの式に変える。 恒等式

   $u^2=\frac{a-(a-bu^2)}{b}$

   を使うと

   $\frac{u^2}{(a-bu^2)^{3/2}}=\frac{a}{b(a-bu^2)^{3/2}}-\frac{1}{b\sqrt{a-bu^2}}$

   と書ける。これがこの問題の技巧のすべてである：扱いにくい分子が、すでに見慣れた2つの積分に変わり、三角置換が一切不要になる。

4. 4

   部品を組み立てる。 ステップ 1 の結果と$\displaystyle\int\frac{du}{\sqrt{a-bu^2}}=\frac{1}{\sqrt b}\arcsin\!\left(u\sqrt{\tfrac{b}{a}}\right)$を使うと：

   $I=\frac{u}{a\sqrt{a-bu^2}}-\frac{u}{b\sqrt{a-bu^2}}+\frac{1}{b\sqrt b}\arcsin\!\left(u\sqrt{\tfrac{b}{a}}\right)+C$

   初めの2項を$ab$で通分すると係数$\dfrac{b-a}{ab}$が得られる。

5. 5

   答えを微分して検証する。 具体値$a=2$、$b=0.7$を取る。閉じた形を$u=0.1$で数値微分すると$0.3518635229$となり、$u=0.1$での被積分関数$(1-u^2)/(a-bu^2)^{3/2}$も$0.3518635229$である ✓。$u=0.5$ではどちらも$0.3042054288$になる ✓。原始関数は正しい。