領域 x² + y² ≤ 1 上での e^(−(x² + y²)) の二重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   直交座標では手も足も出ない理由を見る。 $x$ と $y$ のままだと内側の積分は $\int e^{-x^2}dx$ になるが、その原始関数は初等関数では書けない。被積分関数も領域も原点からの距離だけで決まるので、ここでの極座標は単に便利なのではなく——問題を解けるものにする鍵である。

2. 2

   被積分関数・領域・面積要素をまとめて変換する。 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$ とすると：

   $x^2+y^2=r^2,\qquad dA=r\,dr\,d\theta,\qquad x^2+y^2\le 1\iff 0\le r\le 1$

   なので

   $\iint_{x^2+y^2\le 1}e^{-(x^2+y^2)}dA=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 e^{-r^2}\,r\,dr\,d\theta$

   となる。ヤコビアンから出る余分な $r$ こそが仕掛けのすべてである。$u$ 置換にちょうど必要な因子になっている。

3. 3

   $u=r^2$ で動径方向の積分を実行する。 $u=r^2$ とおくと $du=2r\,dr$、すなわち $r\,dr=\tfrac12\,du$ であり、$u$ は $0$ から $1$ まで動く：

   $\int_0^1 e^{-r^2}r\,dr=\frac12\int_0^1 e^{-u}du=\frac12\left[-e^{-u}\right]_0^1=\frac12\left(1-e^{-1}\right)$

4. 4

   角度について積分する。 動径方向の結果は定数であり、1 周分は $2\pi$ を寄与する：

   $\int_0^{2\pi}\frac12\left(1-e^{-1}\right)d\theta=2\pi\cdot\frac12\left(1-e^{-1}\right)=\pi\left(1-e^{-1}\right)$

5. 5

   数値で評価し、上下から挟んで確認する。

   $\pi\left(1-\frac{1}{e}\right)\approx \pi(1-0.36788)\approx 1.9858$

   単位円板の上で被積分関数は（縁での）$e^{-1}\approx 0.368$ から（中心での）$1$ まで動き、円板の面積は $\pi\approx 3.1416$ である。よって積分値は $0.368\pi\approx 1.156$ と $\pi\approx 3.142$ の間になければならず、$1.9858$ はそのとおりである $\checkmark$。同じ計算を $r\to\infty$ まで広げると $\pi$ が得られ、これが $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$ を支える古典的な結果である。