中心が原点にあり、主軸が x 軸に沿う双曲線の族の微分方程式を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   任意定数の個数から階数を予測する。 この族には独立なパラメータが $a$ と $b$ の2つある。定数を $n$ 個消すには $n$ 回微分する必要があるので、答えは2階の微分方程式になる。これを先に知っておけば、どこで微分をやめるべきかが分かる。

2. 2

   $x$ で1回微分する。 $y$ を $x$ の関数とみて、$y^2$ に連鎖律を使うと：

   $\frac{2x}{a^2}-\frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{a^2}=\frac{y\,y'}{b^2}$

   もとの式の右辺にあった $1$ はこれで消えた。$a^2$ と $b^2$ の間の関係式が1本手に入ったことになる。

3. 3

   もう1回微分する。 $\dfrac{x}{a^2}=\dfrac{y\,y'}{b^2}$ を微分し、$y\,y'$ に積の微分法を使うと：

   $\frac{1}{a^2}=\frac{(y')^2+y\,y''}{b^2}$

4. 4

   2つの関係式を割って、定数を一度に消す。 どちらの式も（何か）$/a^2$ ＝（何か）$/b^2$ の形をしているので、1本目を2本目で割ると比 $b^2/a^2$ が消える：

   $\frac{x/a^2}{1/a^2}=\frac{y\,y'/b^2}{\left((y')^2+y\,y''\right)/b^2}\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{y\,y'}{(y')^2+y\,y''}$

   ここがこの方法の要点で、$a$ と $b$ を別々に解く代わりに、1回の割り算で両方を同時に消してしまえる。

5. 5

   分母を払って微分方程式にする。

   $x\left[\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y\,\frac{d^2y}{dx^2}\right]=y\,\frac{dy}{dx}$

   あるいは、すべてを片側に寄せて

   $x\,y\,y''+x\,(y')^2-y\,y'=0$

   $a$ も $b$ も現れないので、この式は族のすべてのメンバーで成り立つ。それこそが「その族の微分方程式」という言葉の意味である。

6. 6

   具体的なメンバーで検証する。 $a=2$、$b=3$ とすると $y=3\sqrt{x^2/4-1}$ であり、$x=3$ では $y=3.354102$、$y'=2.012461$、$y''=-0.536656$ となる。すると

   $x\left[(y')^2+y\,y''\right]=3\left[4.050+(-1.800)\right]=6.750,\qquad y\,y'=3.354102\times 2.012461=6.750$

   両辺が一致する。別の $a,b$ で繰り返しても同じく一致し、定数が本当に消去できていることが確認できる。