0 から π/2 までの √(1 + tan²(0.661) sin²(b)) を b について積分せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   被積分関数の型を見抜く。 第 2 種完全楕円積分は

   $E(k)=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}\;d\theta$

   である。いまの被積分関数は符号がプラスなので、$k^2=-\tan^2(0.661)$ としたときにこの型に当てはまる——パラメータが負、言い換えれば母数が純虚数 $k=i\tan(0.661)$ ということである。

2. 2

   定数を一度だけ、慎重に計算する。 以下のすべてがこの数値に依存する：

   $\tan(0.661)=0.7777085,\qquad \tan^2(0.661)=0.6048305$

   （角 $0.661$ はラジアンである。ここで度を使うのが、誤答に至る最も多い経路である。）

3. 3

   数値を入れて積分を書き直す。

   $I=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1+0.6048305\,\sin^2 b}\;db=E\!\left(-0.6048305\right)$

   ここで $E$ はパラメータ $m=k^2$ の流儀で書いている。

4. 4

   計算する前に答えを挟み込む。 $0\le\sin^2 b\le 1$ なので、被積分関数は $1$ と $\sqrt{1.6048305}=1.2668$ の間にある。区間の長さ $\pi/2=1.5708$ を掛けると

   $1.5708\le I\le 1.9899$

   この窓から外れる数値結果はすべて誤りである。

5. 5

   数値で評価する。 $[0,\pi/2]$ 上で細かい刻みの複合シンプソン則を使うと

   $I\approx 1.7865275$

   に収束する。これは挟み込み $[1.5708,1.9899]$ の内側に余裕をもって収まり、中点よりやや上にある。$\sin^2 b$ が区間のうち $1$ の近くで過ごす割合が、1 次の重みづけから予想されるより大きいので、これは想定どおりである。