x → −2 のときの (2x² + x − 3)/|x − 1| の極限を求めよ。

Step-by-step solution

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   気の利いたことをする前に分母を確認する。 分母に絶対値があると片側ごとの考察が要りそうに見えるが、それは中身が極限を取る点で0になりうるときだけである。ここでは

   $|x-1|\ \text{が0になるのは}\ x=1\text{ のときだけ}$

   であり、極限を取る点は$x=-2$で十分に離れている。したがって解消すべき不定形は存在しない。

2. 2

   $x=-2$の近傍で絶対値を外す。 $-2$の近くの$x$では$x-1<0$（$x=-2$では$-3$）なので、その近傍全体で

   $|x-1|=-(x-1)=1-x$

   となる。こう書き直せば絶対値は完全に消え、$x=-2$の近くではこの関数が2つの多項式の比であること——したがってそこで連続であること——が見える。

3. 3

   形が 0/0 でないことを確認する。 $x=-2$で分子と分母を別々に評価すると：

   $2(-2)^{2}+(-2)-3=8-2-3=3,\qquad |-2-1|=|-3|=3.$

   どちらも0でないので、因数分解も有理化もロピタルの定理も不要である——それらの道具は不定形のためだけにある。

4. 4

   直接代入する。 この関数は$x=-2$で連続なので、極限は関数値そのものである：

   $\lim_{x\to-2}\frac{2x^{2}+x-3}{|x-1|}=\frac{3}{3}=1.$

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   2つの片側極限が一致することを確認する。 左から（$x=-2.001$）：$\frac{2(4.004)+(-2.001)-3}{3.001}=\frac{3.007}{3.001}\approx 1.002$。右から（$x=-1.999$）：$\frac{2.993}{2.999}\approx 0.9980$。刻み幅を小さくすればどちらも$1$に向かうので、両側極限は存在して$1$に等しい ✓。これは$\lim_{x\to1}\frac{2x^{2}+x-3}{|x-1|}$と対照的である。あちらでは絶対値が実際に左右で異なる値を生む。