f(x) = x²/2 + cos 5x の導関数を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   和を分ける。 微分は線形なので、$\dfrac{x^2}{2}$ と $\cos 5x$ を別々に扱って結果を足せばよい。

2. 2

   2 次の項を微分する。 $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^2}{2}\right)=\dfrac{2x}{2}=x$ である。

3. 3

   余弦を合成関数の微分で処理する。 内側の関数は $u=5x$ で、その導関数は $5$ である。$\dfrac{d}{du}\cos u=-\sin u$ なので $\frac{d}{dx}\cos 5x=-\sin(5x)\cdot 5=-5\sin 5x.$ 内側の因子 $5$ を忘れる、あるいは負号を落とす——それがここでのお決まりの誤りである。

4. 4

   2 つを合わせる。 $f'(x)=x-5\sin 5x.$

5. 5

   数値で検証する。 $x=0.7$ では公式から $0.7-5\sin 3.5=0.7-5(-0.3507832)=2.453916$ となり、$x=0.7$ における $f$ の中心差分商と小数第 6 位まで一致する。