(ln x)⁴ × ln(1 − x) / (x(1 − x)) の 0 から 1 までの積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   核を2つの標準形に分ける。 部分分数分解により$\frac{1}{x(1-x)}=\frac1x+\frac1{1-x}$なので、$I=I_1+I_2$と書ける。ここで$I_1=\int_0^1\frac{\ln^{4}x\,\ln(1-x)}{x}\,dx,\qquad I_2=\int_0^1\frac{\ln^{4}x\,\ln(1-x)}{1-x}\,dx .$2つの半分には別々の級数が必要であり、だからこそ$x\mapsto 1-x$による素朴な対称性の議論はここでは通用しない。

2. 2

   前半を対数の級数展開で評価する。 $\ln(1-x)=-\sum_{n\ge1}\frac{x^{n}}{n}$と、標準的なモーメント$\int_0^1 x^{n-1}\ln^{4}x\,dx=\frac{4!}{n^{5}}=\frac{24}{n^{5}}$を使うと、$I_1=-\sum_{n\ge1}\frac{1}{n}\cdot\frac{24}{n^{5}}=-24\zeta(6).$

3. 3

   後半を調和数の母関数で評価する。 ここでは$\frac{\ln(1-x)}{1-x}=-\sum_{n\ge1}H_n x^{n}$であり、$\int_0^1 x^{n}\ln^{4}x\,dx=\frac{24}{(n+1)^{5}}$なので、$I_2=-24\sum_{n\ge1}\frac{H_n}{(n+1)^{5}} .$

   $m=n+1$と添字をずらし$H_{m-1}=H_m-\frac1m$を用いると、これは$I_2=-24\left(\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{5}}-\zeta(6)\right)$になる。

4. 4

   2つの半分を足す。 $\zeta(6)$の項が打ち消し合う：$I=I_1+I_2=-24\zeta(6)-24\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{5}}+24\zeta(6)=-24\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{5}} .$すべては1つの線形オイラー和に帰着した。

5. 5

   線形和に対するオイラーの公式を適用する。 $\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{s}}=\left(1+\frac{s}{2}\right)\zeta(s+1)-\frac12\sum_{k=1}^{s-2}\zeta(k+1)\zeta(s-k)$を$s=5$で使うと、$\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{5}}=\frac72\zeta(6)-\zeta(2)\zeta(4)-\frac12\zeta(3)^{2}.$したがって$I=-84\zeta(6)+24\zeta(2)\zeta(4)+12\zeta(3)^{2}$となる。

6. 6

   閉じた形に整理して数値で確認する。 $\zeta(6)=\frac{\pi^{6}}{945}$と$\zeta(2)\zeta(4)=\frac{\pi^{2}}{6}\cdot\frac{\pi^{4}}{90}=\frac{\pi^{6}}{540}$を使うと、$\pi^{6}$の項は$-\frac{4}{45}\pi^{6}+\frac{2}{45}\pi^{6}=-\frac{2}{45}\pi^{6}$とまとまり、$I=12\zeta(3)^{2}-\frac{2\pi^{6}}{45}$が得られる。数値では$-25.389119\ldots$であり、もとの積分を二重指数型数値積分で計算しても同じく$-25.389119\ldots$になる。