x が -4 に近づくときの (x^2 + 5x + 4)/(x^2 + 3x - 4) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず代入して極限の型を判定する。 分子は $(-4)^2+5(-4)+4=16-20+4=0$、分母は $(-4)^2+3(-4)-4=16-12-4=0$ である。形は $\tfrac00$ であり、これは両方に共通因子 $(x+4)$ が隠れていることを意味する。

2. 2

   分子を因数分解する。 掛けて $4$、足して $5$ になる 2 数は $1$ と $4$ である。$x^2+5x+4=(x+1)(x+4).$

3. 3

   分母を因数分解する。 掛けて $-4$、足して $3$ になる 2 数は $4$ と $-1$ である。$x^2+3x-4=(x+4)(x-1).$

4. 4

   共通因子を約分する。 $x\ne-4$ では $\frac{(x+1)(x+4)}{(x+4)(x-1)}=\frac{x+1}{x-1}.$ となる。極限はその点そのものでの関数値を評価しないので、この約分は正当である。

5. 5

   簡約した形に代入する。 $\lim_{x\to-4}\frac{x+1}{x-1}=\frac{-4+1}{-4-1}=\frac{-3}{-5}=\frac35.$ もとの商に $x=-4.001$ と $x=-3.999$ を入れると $0.60008$ と $0.59992$ になり、期待どおり $0.6$ を挟んでいる。