y = sin²(x) の導関数を求めよ。

Step-by-step solution

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   まず記法を読み解く。 $\sin^2 x$ は $\left(\sin x\right)^2$ の意味であって $\sin\left(x^2\right)$ ではない。外側の関数が 2 乗、内側の関数が正弦である。ここを取り違えると $2x\cos(x^2)$ というまったく別の答えになってしまう。

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   置換を明示して合成関数の微分を組み立てる。

   $u=\sin x\ \Longrightarrow\ y=u^2$

   とおくと、合成関数の微分から

   $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=2u\cdot\frac{du}{dx}$

   となる。

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   内側の関数を微分する。

   $\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$

   （ここで弧度法が効いてくる。$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$ が成り立つのはラジアンで測ったときだけである。）

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   もとに戻す。

   $\frac{dy}{dx}=2\sin x\cos x$

   $u$ は $\sin x$ に戻さなければならない——$2u\cos x$ のままでは答えとして不完全である。

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   2 倍角の公式で書き直す。 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ なので

   $\frac{dy}{dx}=\sin 2x$

   どちらの形も正しいが、こちらのほうが零点が $x=\tfrac{k\pi}{2}$ であることを見やすくしてくれる。

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   数値で確認する。 $x=0.7$ での中心差分は $0.98544973$、$\sin(1.4)=0.98544973$ で一致する ✓。構造の確認として、$y=\sin^2x$ は $x=0,\pi$ で極小、$x=\tfrac\pi2$ で極大となり、$\sin 2x$ はまさにその点で 0 になる。