微分方程式 dy/dx = e^y を解け。

Step-by-step solution

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   変数を分離する。 $y$ への依存はすべて右辺にあるので $e^{y}$ で割る——$e^{y}$ は決して 0 にならないので正当である。

   $e^{-y}\,dy = dx$

2. 2

   両辺を積分する。

   $\int e^{-y}\,dy = \int dx \quad\Longrightarrow\quad -e^{-y} = x + C_0$

   定数は 1 つで足りる。符号を吸収して $C = -C_0$ とし、$e^{-y} = C - x$ と書く。

3. 3

   y について陽に解く。 自然対数をとるには $C - x > 0$ が必要である。

   $-y = \ln(C - x) \quad\Longrightarrow\quad y = -\ln(C - x)$

4. 4

   定義域を読み取る——ここが面白いところである。 解が存在するのは $x < C$ に限られる。$x \to C^{-}$ のとき対数の引数は $0^{+}$ に近づき $y \to +\infty$ となる。右辺の $e^{y}$ はいたるところ滑らかであるにもかかわらず、解は有限の $x$ で発散するのである。局所的な存在が大域的な存在を意味しないことを示す標準的な例である。

5. 5

   代入して確かめる。 $C = 5$、$x = 1$ とすると $y = -\ln 4 \approx -1.386294$ なので $e^{y} = \tfrac14 = 0.25$ である。微分のほうは $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{C-x} = \frac14 = 0.25$ となる。両者は一致し、刻み $10^{-6}$ の中心差分を $x = 1$ で取っても $0.250000$ が返る。