x が 0 から 1、y が 1 から 2、z が 1 から 2 の範囲で 4x^2*z^3*y の三重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   微分の並びから積分の順序を読み取る。 微分は $dx\,dy\,dz$ の順に現れているので、最も内側の変数は $x$（範囲 $0$ から $1$）、次が $y$（範囲 $1$ から $2$）、最後が $z$（範囲 $1$ から $2$）である。6 つの積分限界がすべて定数なので、これは直方体上の積分であり、境界の曲線は一切関係しない。

2. 2

   x について積分する。 $z^{3}$ と $y$ を定数とみなすと $\int_{0}^{1}4x^{2}z^{3}y\,dx=4z^{3}y\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{4}{3}z^{3}y .$

3. 3

   y について積分する。 ここでは $\frac43 z^{3}$ が $y$ に関して定数である。 $\int_{1}^{2}\frac{4}{3}z^{3}y\,dy=\frac{4}{3}z^{3}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{1}^{2}=\frac{4}{3}z^{3}\cdot\frac{3}{2}=2z^{3}.$

4. 4

   z について積分する。 $\int_{1}^{2}2z^{3}\,dz=\left[\frac{z^{4}}{2}\right]_{1}^{2}=\frac{16}{2}-\frac{1}{2}=\frac{15}{2}.$

5. 5

   因子を分けて照合する。 被積分関数が $4\cdot x^{2}\cdot y\cdot z^{3}$ と分解でき、直方体の積分限界がすべて定数なので、この積分は 1 変数積分の積になる。$4\cdot\frac13\cdot\frac32\cdot\frac{15}{4}=\frac{15}{2}$ となり、累次積分の結果と一致する。