n → ∞ のときの (2n − n³)/(12 + n³) の極限を求めよ。選択肢は「正解なし」「0」「5」「1」である。

Step-by-step solution

1. 1

   分子と分母それぞれの支配的なべきを見つける。 分子も分母も$n$について3次であり、分子の最高次項は$-n^{3}$、分母のそれは$+n^{3}$である。次数が等しいので、極限はそれらの最高次係数の比になる。

2. 2

   すべての項を n³ で割る。 これで主張が単なる言い切りではなく厳密になる：

   $\frac{2n-n^{3}}{12+n^{3}}=\frac{\dfrac{2}{n^{2}}-1}{\dfrac{12}{n^{3}}+1}.$

3. 3

   逆数のべきを0に飛ばす。 $\dfrac{2}{n^{2}}\to 0$、$\dfrac{12}{n^{3}}\to 0$なので、

   $\lim_{n\to\infty}\frac{0-1}{0+1}=-1.$

4. 4

   符号に注意する——ここがこの問題の眼目である。 分子の3次の項は負なので、数列は下から$-1$に近づき、答えは負になる。$2n-n^{3}$を$n^3$が正であるかのように読んでしまうことが、つい選びたくなる答え$1$を生む。

5. 5

   選択肢と照合する。 計算した値$-1$は$0$でも$5$でも$1$でもない。したがって正しい選択はA：正解なしである。

6. 6

   数値で確認する。 $n=100$では商は$\dfrac{200-1000000}{12+1000000}=-0.9998$、$n=1000$では$-0.999998$——明らかに$-1$に収束している。