y = √(2x + 1) の余弦、すなわち y = cos(√(2x + 1)) を微分せよ。

Step-by-step solution

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   層の構造と定義域を確認する。 この関数は 3 重の合成である：$v=2x+1$、$u=\sqrt{v}$、$y=\cos u$。$y$ が定義されるには $2x+1\ge 0$、すなわち $x\ge-\frac12$ が必要である。導関数のほうは狭義の不等式 $x>-\frac12$ を要求する。$\sqrt{v}$ は $v=0$ で傾きが無限大になるからである。

2. 2

   外側の層を微分する。

   $\frac{dy}{du}=-\sin u=-\sin\sqrt{2x+1}$

   負号は余弦の導関数に由来するもので、落としてはならない。

3. 3

   内側の平方根を、もう一度合成関数の微分で処理する。 $\sqrt{2x+1}=(2x+1)^{1/2}$ と書くと

   $\frac{du}{dx}=\frac12(2x+1)^{-1/2}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

   $\frac{d}{dx}(2x+1)$ から出る因子 $2$ が、べき乗の公式から出る $\frac12$ を打ち消す——係数がちょうど $2$ だからこそ起こる、気持ちのよい偶然である。

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   2 つの変化率を掛ける。

   $y'=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=-\sin\sqrt{2x+1}\cdot\frac{1}{\sqrt{2x+1}}=-\frac{\sin\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2x+1}}$

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   数値で確認し、端点を調べる。 $x=4$ では $\sqrt{9}=3$ なので $y'=-\frac{\sin 3}{3}=-\frac{0.1411200}{3}=-0.0470400$ であり、$x=4$ における $\cos\sqrt{2x+1}$ の中心差分も $-0.0470400$ となる ✓。$x=-\frac12$ では関数自体は定義されている（$y=\cos 0=1$）が分母が 0 になるので、グラフはそこで垂直な接線を持ち、$y'$ は存在しない。