正方形 [0,1] × [0,1] 上での 1/(x + y + 2) の二重積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   まず $y$ を定数と見て $x$ で積分する。 被積分関数は $x$ の 1 次式の逆数なので $\int_{0}^{1}\frac{dx}{x+y+2}=\Big[\ln(x+y+2)\Big]_{0}^{1}=\ln(y+3)-\ln(y+2).$ この正方形上では対数の中身はつねに正なので、絶対値は不要である。順序はどちらでもよい——被積分関数は $x$ と $y$ について対称だからである。

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   残った 1 変数の積分を立てる。 $\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\frac{dx\,dy}{x+y+2}=\int_{0}^{1}\Big[\ln(y+3)-\ln(y+2)\Big]dy$ どちらも平行移動した変数の対数であり、部分積分（あるいは標準の公式）から $\int\ln(y+a)\,dy=(y+a)\ln(y+a)-(y+a)+C.$ となる。

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   2 つの対数の積分を計算する。 $\int_{0}^{1}\ln(y+3)\,dy=\Big[(y+3)\ln(y+3)-(y+3)\Big]_{0}^{1}=\left(4\ln 4-4\right)-\left(3\ln 3-3\right)=4\ln 4-3\ln 3-1,$ $\int_{0}^{1}\ln(y+2)\,dy=\Big[(y+2)\ln(y+2)-(y+2)\Big]_{0}^{1}=\left(3\ln 3-3\right)-\left(2\ln 2-2\right)=3\ln 3-2\ln 2-1.$ 数値ではそれぞれ $1.2493405785$ と $0.9095425049$ である。

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   引いて対数をまとめる。 $\left(4\ln 4-3\ln 3-1\right)-\left(3\ln 3-2\ln 2-1\right)=4\ln 4+2\ln 2-6\ln 3.$ $4\ln 4=4(2\ln 2)=8\ln 2$ なので、これは $8\ln 2+2\ln 2-6\ln 3=10\ln 2-6\ln 3.$ となる。

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   1 つの対数にまとめる。式変形に注意する。 まとめると $10\ln 2-6\ln 3=\ln\frac{2^{10}}{3^{6}}=\ln\frac{1024}{729}=0.3397980736.$ 誘惑されやすい誤った書き換えが $2\ln 2+4\ln\tfrac43$ で、これを展開すると $10\ln 2-4\ln 3=2.5370$ ——分母の $3$ が 2 つ失われるため、およそ 7 倍も大きくなってしまう。

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   粗い見積もりで大きさを確かめる。 単位正方形上で $x+y+2$ は $2$ から $4$ まで動くので、被積分関数は $\tfrac14$ と $\tfrac12$ の間にあり、その平均も同じ範囲に入る。値 $0.3398$ はその帯の中に余裕をもって収まっており、$4000\times 4000$ の中点則の格子でも $0.3397980732$ が得られて、閉じた形が裏づけられる。