正の整数 n に対する sin^(2n)(x) の不定積分を求めよ。漸化式、明示的な閉じた形、および n = 1, 2, 3 の場合を示せ。

Step-by-step solution

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   置換ではなく漸化式を使う理由。 正弦の奇数乗なら 1 つ因子を外して $u=\cos x$ と置換すればよい。しかし偶数乗 $2n$ ではこの手が使えない。余る正弦が 1 つもないからである。代わりの定石は部分積分であり、指数を 2 つ下げて漸化式を生む。

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   漸化式を述べる。 $\sin^{m}x=\sin^{m-1}x\cdot\sin x$ と書いて部分積分すると、古典的な結果

   $\int\sin^{m}x\,dx=-\frac{\sin^{m-1}x\cos x}{m}+\frac{m-1}{m}\int\sin^{m-2}x\,dx.$

   が得られる。$m=2n$ とし $I_{n}=\int\sin^{2n}x\,dx$ とおくと

   $I_{n}=-\frac{\sin^{2n-1}x\,\cos x}{2n}+\frac{2n-1}{2n}\,I_{n-1},\qquad I_{0}=\int 1\,dx=x.$

   となる。1 回適用するごとに指数が $2$ ずつ下がるので、$n$ 段で $I_{0}=x$ に行き着く——偶数乗の答えに必ず裸の $x$ の項が残るのはそのためである。

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   次数下げの公式から明示的な閉じた形を得る。 $\sin^{2n}x$ を倍角の余弦で展開すると

   $\sin^{2n}x=\frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}+\frac{1}{2^{2n-1}}\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-k}\binom{2n}{k}\cos\bigl(2(n-k)x\bigr),$

   となり、どの項もただちに積分できる。定数項 $\binom{2n}{n}/2^{2n}$ は 1 周期にわたる $\sin^{2n}$ の平均値であり、これが $x$ の項になる。

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   項ごとに積分する。 $\lambda=2(n-k)$ として $\int\cos(\lambda x)\,dx=\frac{\sin(\lambda x)}{\lambda}$ を使うと

   $\int\sin^{2n}x\,dx=\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}\,x+\frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-k}\binom{2n}{k}\frac{\sin\bigl(2(n-k)x\bigr)}{n-k}+C.$

   となる。$\tfrac{1}{2(n-k)}$ から出る余分な因子 $\tfrac12$ が、分母の $2^{2n-1}$ を $2^{2n}$ に変えている。

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   最初の 3 つの場合を書き下す。 どちらの公式でも $n=1,2,3$ について計算すると

   $\int\sin^{2}x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C,$

   $\int\sin^{4}x\,dx=\frac{3x}{8}-\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 4x}{32}+C,$

   $\int\sin^{6}x\,dx=\frac{5x}{16}-\frac{15\sin 2x}{64}+\frac{3\sin 4x}{64}-\frac{\sin 6x}{192}+C.$

   となる。先頭の係数 $\tfrac12,\tfrac38,\tfrac{5}{16}$ はちょうど $\binom{2n}{n}/2^{2n}$ であり、ウォリスの規則と一致している。

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   数値で確認する。 閉じた形を $[0,1.3]$ で評価してシンプソン法による数値積分と比べると、$n=1$ ではどちらも $0.5211246570$、$n=2$ では $0.3310166991$、$n=3$ では $0.2388166824$ となる。3 つとも小数第 10 位まで一致する ✓。