cos(2x) の x についての不定積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   まず形を予想し、あとから定数を合わせる。 $\cos$の原始関数は$\sin$なので、答えは$A\sin2x$の形になるはずである。この予想を微分すると$\dfrac{d}{dx}\left(A\sin2x\right)=2A\cos2x$。$\cos2x$に一致させるには$2A=1$、すなわち$A=\tfrac12$が必要になる。この$\tfrac12$は飾りではなく、合成関数の微分法が持ち込む$2$を打ち消すためのものである。

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   置換を使ってきちんとやる。 $u=2x$とおくと$du=2\,dx$、$dx=\tfrac12\,du$なので：

   $\int\cos2x\,dx=\int\cos u\cdot\frac12\,du=\frac12\int\cos u\,du=\frac12\sin u+C$

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   もとの変数に戻す。

   $\int\cos2x\,dx=\frac12\sin2x+C$

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   一般則として述べる。 ゼロでない任意の定数$a$について、

   $\int\cos ax\,dx=\frac{1}{a}\sin ax+C$

   前に出る因子は常に内側の係数の逆数である。同じパターンから$\int\sin ax\,dx=-\tfrac1a\cos ax+C$も得られる。

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   最も多い誤りを押さえる。 $\tfrac12$を落として$\sin2x+C$と書く、あるいは逆数を取り違えて$2\sin2x+C$と書く——この2つがよくある誤りである。答えを微分してみれば5秒でどちらも見つかる。

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   微分して検証する。 $\dfrac{d}{dx}\left(\tfrac12\sin2x\right)=\tfrac12\cdot2\cos2x=\cos2x$ ✓。数値でも、$x=0.3,\ 1.4,\ -0.9$における$\tfrac12\sin2x$の対称差分商が$\cos2x$と小数第5位まで一致する ✓。