f(x) = e^(−x²) · sin(3x) の 1 階導関数と 2 階導関数を求めよ。

Step-by-step solution

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   積の微分法の形に置く。 $u = e^{-x^2}$、$v = \sin(3x)$ とすると、どちらの因子も合成関数なので、それぞれの微分の中で合成関数の微分が必要になる：

   $u' = e^{-x^2}\cdot(-2x) = -2xe^{-x^2}, \qquad v' = 3\cos(3x)$

   内側の導関数 $-2x$ と $3$ が、ここで最も落としやすい 2 つの因子である。

2. 2

   1 階導関数を組み立てて因数をくくり出す。

   $f'(x) = -2xe^{-x^2}\sin(3x) + 3e^{-x^2}\cos(3x) = e^{-x^2}\left(3\cos 3x - 2x\sin 3x\right)$

   $e^{-x^2}$ を前にくくり出しておくと、2 回目の微分が扱いやすくなる。

3. 3

   2 階導関数のためにかっこの中を微分する。 $w = 3\cos 3x - 2x\sin 3x$ とおくと

   $w' = -9\sin 3x - \left(2\sin 3x + 6x\cos 3x\right) = -11\sin 3x - 6x\cos 3x$

   $-2x\sin 3x$ の項にはもう一度積の微分法が要り、そこから $-2\sin 3x$ と $-6x\cos 3x$ の両方が出る。

4. 4

   もう一度積の微分法を適用する。

   $f''(x) = u'w + uw' = -2xe^{-x^2}\left(3\cos 3x - 2x\sin 3x\right) + e^{-x^2}\left(-11\sin 3x - 6x\cos 3x\right)$

5. 5

   正弦の項と余弦の項をまとめる。 余弦の項は $-6x - 6x = -12x$、正弦の項は $4x^2 - 11$ を与える：

   $f''(x) = e^{-x^2}\left(\left(4x^2 - 11\right)\sin 3x - 12x\cos 3x\right)$

6. 6

   x = 0 で確認する。 公式からは $f'(0) = 1\cdot(3 - 0) = 3$、$f''(0) = 1\cdot(-11\cdot 0 - 0) = 0$ となる。直接見ても、$0$ の近くで $f(x) \approx (1-x^2)(3x - \tfrac{9x^3}{2}) = 3x + O(x^3)$ なので、原点での傾きは $3$、2 階導関数は 0 ——どちらも確認できた。